Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Центр масс (центр инерции) системы материальных точек — точка, радиус-вектор которой определяется равенством:

n

∑mi ri

rц.м = i=1mc , (13.12)

где mi, ri — масса и радиус-вектор i-й м.т. соответственно, mс —

n

масса системы материальных точек: mc = ∑mi .

i=1

Скорость центра масс системы материальных точек

где mi, vi — масса и скорость i-й материальной точки.

Импульс системы м.т. может быть найден через произведение скорости центра масс и массы системы:

Если система м.т. незамкнута, то скорость изменения импульса системы относительно ИСО равна сумме приложенных ко всем материальным точкам системы внешних сил (или равнодействующей внешних сил):

где Fp.внеш i — равнодействующая внешних сил, действующих на i-ю материальную точку системы.

В общем случае, если равнодействующая внешних сил непостоянна, то приращение импульса системы м.т. может быть найдено через среднее равнодействующей внешних сил Fрвнеш :

51

Если равнодействующая внешних сил постоянна (Fр.внеш = const) на промежутке времени t, то приращение импульса системы м.т. равно импульсу равнодействующей внешних сил:

Равенству (13.17) эквивалентна система уравнений для проекций приращения импульса системы материальных точек (при движении м.т. в плоскости хОу):

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется:

при этом взаимодействие между материальными точками системы может приводить к изменению их импульсов.

Равенству (13.19) эквивалентно равенство:

Скорость центра масс замкнутой системы материальных точек относительно ИСО с течением времени не изменяется:

Условие сохранения импульса незамкнутой системы материальных точек

Импульс незамкнутой системы м.т. pс с течением времени не изменяется, если сумма всех внешних сил, приложенных к материальным точкам системы, равна нулю:

52

Условие сохранения проекции импульса незамкнутой системы материальных точек

Проекция импульса незамкнутой системы м.т. на какую-либо ось не изменяется, если проекция суммы всех внешних сил на эту ось равна нулю (например на оcь Ox):

Для решения некоторых задач можно считать, что импульс незамкнутой системы материальных точек не изменяется (pн.с = pк.с), если приращением импульса системы по сравнению с первоначальным значением можно пренебречь ( pс << pн.с) вследствие малых значений равнодействующей внешних сил и (или) промежутка времени действия внешних тел, и, следовательно, незначительности импульса равнодействующей внешних сил.

Реактивное движение

При работе двигателей ракеты общая масса ракеты уменьшается при истечении некоторого количества газа, образующегося при сгорании топлива.

Уравнение Мещерского динамическое уравнение движения ракеты переменной массы при реактивном движении:

где M — общая масса ракеты (являющаяся переменной величиной) в некоторый момент времени, a ускорение ракеты, Fр.внеш — равнодействующая внешних сил, приложенных к ракете, Fреакт — реактивная сила:

где μ = dmг — расход топлива, u — скорость газа относительно dt

ракеты.

53

§14. Работа и мощность

Работа постоянной силы при прямолинейном движении А — СФВ, равная скалярному произведению постоянной силы F на перемещение м.т. r, на котором действует эта сила:

Работа постоянной силы при прямолинейном движении м.т. по оси Ох в системе координат FxOx равна площади (в единицах работы) прямоугольника, ограниченного графиком Fx(х), осью Ох

54

от начальной до конечной координаты м.т. и отрезками прямых х = хн и х = хк (рис.14.2).

где δАi элементарная работа, равная скалярному произведению силы Fi на соответствующее перемещение м.т. ri.

Работа переменной силы при прямолинейном движении мате-

риальной точки (например, по оси Ох)

Работа переменной силы при прямолинейном движении мате-

55

риальной точки по оси Ох в системе координат FxOx равна площади (в единицах работы) криволинейной трапеции, ограниченной

Мощность (мгновенная) Р — СФВ, равная пределу отношения элементарной работы δA к промежутку времени t, за который совершена эта работа, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

Единица мощности — ватт: [Р] = Вт = Дж/с = кг м2/с3.

Мощность, как и работа силы, может быть положительной, равной нулю и отрицательной, и выражена через:

а) силу F, приложенную к м.т., и ее скорость v:

где α — угол между скоростью v и силой F;

б) Fv — проекцию силы на ось Ov, совпадающей по направлению со скоростью v, или vF — проекцию скорости на ось OF, совпадающей по направлению с силой F:

в) проекции силы и скорости на координатные оси (при движении м.т. в плоскости хОу):

56

57

нагруженного (хн ≠ 0) состояния (на рис.14.6,б – при растяжении) ограниченных соответствующим графиком Fупр.x(х), осью Ох от начальной до конечной координаты незакрепленного конца пружины и отрезками прямых х = хн (в первом случае хн = 0) и х = хк.

Работа упругой силы определяется только начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между этими точками.

Работа силы тяжести

где hн и hк — начальная и конечная высоты м.т.(рис.14.7), m — масса м.т., g — модуль ускорения свободного падения (g = const).

где G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы материальных точек , rн и rк — начальное и конечное расстояния между материальными точками (см. рис.14.3, в начале координат находится материальная точка массой m1).

Работа силы тяготения Атяг определяется начальным и конечным положениями материальных точек и не зависит от траектории между этими положениями.

Работа силы тяготения может быть положительной, отрица-

58

тельной и равной нулю:

а) Aтяг > 0 — при уменьшении расстояния между м.т. (rк < rн);

б) Aтяг < 0 — при увеличении расстояния между м.т. (rк > rн); в) Aтяг = 0 — при условии, что расстояния между м.т. не изме-

няется (rк = rн), либо при замкнутой траектории.

Равенство (14.17) справедливо и для случаев а) и б), приведенных в законе всемирного тяготения (12.1). Если в случае б) одним из тел является планета, например Земля, тогда rн и rк не могут быть меньше радиуса Земли RЗ, но могут быть представлены в виде суммы RЗ и высот hн и hк м.т., соответственно, над поверхностью Земли.

Работа силы трения при постоянной скорости м.т. может быть определена по формуле:

где скорость м.т. v = const; сила трения Fтр = const на промежутке времени t.

б) работа силы трения Fтр1,2, приложенной к верхнему бруску (см.

рис.14.8) со стороны нижнего бруска,

Aтр1,2 < 0, так как угол между силой Fтр1,2 и скоростью v1 верхнего бруска

равен 180°;

в) работа силы трения Fтр, приложенной к бруску, расположенному (рис.14.9) на вращающемся горизонтальном диске, Атр = 0, так как угол

59

между силой трения Fтр и скоростью v бруска равен 90° (на рисунке дан вид диска сверху, относительно диска брусок неподвижен).

Работа силы трения зависит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

Поле сил (силовое поле) — область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил — поле, силы которого не изменяются с течением времени:

Однородное поле сил — поле, силы которого во всех его точках одинаковы:

Центральное поле сил — поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния r до этого центра:

где f(r) – некоторая функция расстояния между данной точкой и центром поля.

Пример стационарного центрального поля сил — поле сил тяготения неподвижной материальной точки. В небольшой области такое поле можно считать однородным.

Консервативные силы (к.сл) — силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется

потенциальным.

Пример консервативных сил — силы тяжести, силы тяготения и силы упругости.

Неконсервативные силы (нк.сл) — силы, работа которых зави-

сит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

Пример неконсервативных сил — силы трения. Работа силы трения скольжения по замкнутой траектории не равна нулю.

60