Астахов Механика. Конспект лекций 2011

где x = xк − xн.

Среднее значение функции равно константе постоянной функции, график которой на отрезке [xн,xк] является стороной AB прямоугольника ABFE (см. рис.П4.3), площадь которого равна пощади криволинейной трапеции CDFE.

91

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Векторы

Вектор — величина, определяемая направлением в простран-

→

A AB (т.A — начало вектора, т.В — конец вектора), или буквойG со стрелкой навер-

ху, например b , либо одной буквой, напечатанной полужирным шрифтом, например a.

Модуль (абсолютная величина) вектора — длина вектора в выбранном масштабе. Обозначается: |a| или а.

Векторы подразделяются на свободные (начало вектора может находиться в любой точке пространства), скользящие (начало вектора может находиться в любой точке прямой, проходящей через начало и конец данного вектора) и связанные (начало вектора находится в определённой точке пространства).

Равенство свободных векторов

Два свободных вектора равны между собой, если их направления одинаковы и модули равны. На рис.П5.1 показаны два равных вектора а и b.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на параллельных прямых.

Сложение векторов

Для сложения двух векторов a и b необходимо осуществить параллельный перенос вектора а (либо b) таким образом, чтобы конец одного вектора совпал с началом другого (рис.П5.2).

Сумма двух векторов a и b — вектор

начало которого совпадает с началом вектора a, конец — с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a (правило треугольника, см. рис.П5.2).

92

Для вычисления модулей векторов и углов между ними в тре-

Сумма нескольких векторов

Для нахождения суммы n векторов можно параллельным переносом по очереди совместить начало последующего вектора с концом предыдущего вектора.

Суммой векторов ai (i = 1,2,...,n) является вектор

i=1

93

Умножение и деление вектора на скаляр

Произведением вектора a на скаляр n (действительное число)

является вектор

направление которого при положительном n (n>0) совпадает с направлением вектора а (рис.П5.4а,б), при отрицательном n (n<0) — противоположно вектору а (рис.П5.4,в,г), модуль которого

Из этого правила следует, что векторы а и −а направлены в противоположные стороны, а их модули равны (рис.П5.4,г).

При n = 0 получается нулевой вектор.

Нулевой вектор 0 — вектор, начало и конец которого совпадают.

Модуль нулевого вектора равен нулю.

Деление вектора а на скаляр n можно представить как его умножение на скаляр, равный 1/n.

начало которого совпадает с концом вектора b, а конец — с концом вектора a, при условии, что начало вектора a совпадает с началом вектора b (рис.П5.5,а).

Разность векторов а и b можно представить как сумму векторов а и −b (рис.П5.5,б):

94

Сумма и разность векторов a и b могут быть найдены также по правилу параллелограмма (рис.П5.6).

Проекция вектора на ось

Проекция вектора а на ось Оx (обозначается aх) — величина, определяемая равенством:

где а — модуль вектора а, α — угол между вектором а и осью Oх (рис.П5.7,а и П5.7,б).

Проекция вектора а на ось Oх может быть определена также из равенства:

где хк и хн — координаты конца и начала вектора а на ось Ох

(см. рис.П5.7,а и П5.7,б).

Проекция вектора а на ось Ох может быть определена через длину L отрезка AB между проекциями конца (т.B) и начала (т.А) вектора a на ось Оx: если угол между вектором а и положительной полуосью Oх (рис.П3.7,а) принадлежит полуинтервалу [0; π/2), то

95

Если вектор равен сумме векторов (равенство П5.4), его про-

екция на какую-либо ось (например, ось Оx) равна сумме проекций этих векторов на данную ось аix:

Единичный вектор может быть записан в виде выражения:

96

где ax и ay — составляющие вектора a, параллельные осям Ox и Oy соответственно (см. рис.П5.9).

Любой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, выраженных через орты:

где ax и ay — проекции вектора a на оси Ox и Oy соответственно. Вектор а (на плоскости) может быть задан двумя числами —

либо модулем а и углом α к какой-либо оси (например, оси Ox), либо проекциями на оси координат аx и аy.

Они связаны между собой равенствами:

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b (обозначается a·b, (ab) или (a,b)) — скаляр

с = (a,b) = abcosα, (П5.23)

Скалярное произведение двух векторов может быть выражено через их проекции на координатные оси:

Свойства скалярного произведения:

1)(a,b) = (b,a) — скалярное произведение коммутативно;

2)(a,b) > 0, если угол α острый;

3)(a,b) < 0, если угол α тупой;

97

4)(a,b) = 0, если угол α прямой.

5)a2 = (a, a) = а2 — квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов a и b (обозначается a×b, [ab] либо [a,b]) — вектор

который перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы а и b (рис.П5.11), причем векторы

cа,b и с образуют правую тройку векторов: поворот вектора a (век-

где а и b — модули векторов а и b, α — угол между векторами а и b, соединенными своими началами (0 ≤ α ≤π).

Векторное произведение двух векторов может быть выражено через их проекции на координатные оси и орты:

[a,b] = (aybz − azby)i − (axbz−azbx)j +(axby −aybx)k. (П5.27)

Свойства векторного произведения:

1)[a,b] = − [b,a] — векторное произведение некоммутативно;

2)[a,b] = 0, если угол α = 0 или α = π (векторы а и b коллинеарны).

98

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Методика решения задач

Целью решения задач является:

а) усвоение и проверка теоретических знаний по различным разделам физики;

б) научиться применять законы физики для решения конкретной задачи и правильно оформлять это решение.

Порядок решения задачи следующий:

1.Записать (если имеется) номер задачи.

2.Написать (по возможности кратко) данные задачи (желательно выразить их в единицах Международной системы единиц — СИ).

3.Сделать (если это возможно) рисунок (схему).

4.Написать необходимые теоретические формулы по теме за-

дачи.

5.Используя обозначения физических величин, приведенных в задаче, записать уравнения, связывающие известные величины и величины, которые требуется определить.

6.Если число неизвестных величин больше количества уравнений, то необходимо, используя условие задачи, составить такое количество дополнительных уравнений, чтобы общее число уравнений стало равным числу неизвестных величин.

7.Полученную систему уравнений решить (желательно) в общем виде, выразив искомую физическую величину в буквенных обозначениях через заданные в условии задачи величины.

8.В полученную формулу подставить числовые данные (если они имеются), константы и табличные данные (если необходимо) и определить численное значение искомой величины. После проведения расчетов округлить числа до необходимого количества значащих цифр (но не более, чем количество значащих цифр в исходных числовых данных). Для записи больших (или малых) чисел необходимо использовать степень десяти. В числах, начинающихся

сединицы, в большинстве случаев можно оставлять три цифры,

например, число 1847 записывать в виде 1,85 103, в остальных числах — оставлять две цифры, например, число 0,0478 записывать в

99

виде 4,8 10−2, при этом, если в числе последняя цифра пять, то при ее отбрасывании предыдущую цифру увеличивать на единицу. В ответе разрешается использовать приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц, которые приведены в табл. П6.1.

Таблица П6.1.

9.Проверить единицу (или размерность) искомой физической величины, используя общий вид решения. Если возможно, оценить реальность значения искомой величины.

10.Записать ответ в общем и численном (совместно с единицами физических величин) видах.

11.Попробовать найти решение задачи другим способом.

100