ekz_terver_zima

С помощью полигона и гистограммы частот можно оценить вид функции плотности наблюдаемого распределения, ЭФР является оценкой (теоретической) функции распределения. С помощью анализа графиков можно сделать предположение (выдвинуть статистическую гипотезу) о типе наблюдаемого распределения.

Свойства ЭФР.

≤~ ( )≤

1)0 Fn x 1

~( )

2)Fn x — неубывающая, непрерывная слева ступенчатая функция

~( )

3)Fn x — случайная величина, т. е.

Док-во.

распределения, начальных и центральных моментов и т.д. используются выборочное среднее, выборочные дисперсии, эмпирическая функция распределения, выборочные начальные и центральные моменты к-го порядка, выборочная мода, выборочная медиана и др.

Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.

Оценка θ˜ параметра θ называется несмещенной, если ~=

M θ θ

~ L

( θn→θ ).

~ P

Оценка θ˜ параметра θ называется состоятельной, если θn→θ , т. е.

(т.е. если оценка состоятельная, то при достаточно большом объеме выборки оценка параметра с высокой вероятностью практически равна параметру).

Говорят, что оценка θ˜ 1 параметра θ лучше оценки θ˜ 2 если дисперсия этой оценки

(~)< (~)

D θ1 D θ2

Пусть T — класс несмещенных оценок параметра θ. Оценка θ˜* называется эффективной оценкой параметра θ, если дисперсия

Так как нижняя грань множества не обязательно является элементом этого множества, то эффективная оценка не всегда существует, в этих случаях используется асимптотически эффективная оценка.

Теорема о единственности эффективной оценки.

Доказательство.

Определение регулярной параметрической модели.

Пусть { Xn ;Fξ ( x,θ):θ Θ }−параметрическая модель

Xn — выборочное пространство

Fξ(x,θ) — известная с точностью до параметра функция распределения Определение.

Модель называется регулярной, если

1) параметрическое множество Θ имеет вид Θ = (a, +∞) - открытое множество

2) носитель распределения — множество A={x R; f ( x)>0} - оно не зависит от параметра

3)для любого θ Θ и во всех точках x A существует конечная производная

δ f ξ ( x ,θ) <+∞

δ θ

+∞

5)∫ f ( x ,θ) dx - дважды дифференцируем по параметру θ под знаком

−∞

интеграла

Неравенство Рао-Крамера. Информация Фишера

~

Пусть модель регулярна θn - несмещенная оценка параметра θ.

информацияФишера водном наблюдении

Доказательство.

Рассмотрим непрерывную модель с функцией плотности f ξ (x ,θ) ; А множество A={x :f ξ ( x,θ)>0}

- независимые случайные величины f xi=f ξ( x ,θ) привсехi

Построим функцию плотности распределения выборки

Функция плотности f x¯n (t¯n) удовлетворяет свойству∫ f xn¯ (t¯n)=1

таким образом

∫ f xn¯ (t¯n ,θ) dt¯n=∫ f xn¯ (t¯n ,θ) dt¯n=1

Преобразуем выражение под знаком интеграла

продифференцируем по θ : **

таким образом

Действительно

Докажем состоятельность, т.е. что

ε>0lim P{|¯x−a<ε|}=1. ПонеравенствуЧебышёва ε>0

n→∞

Теорема о несмещенной и состоятельной оценке функции распределения.

Пусть X1,X2,…,Xn L(x,θ) --- выборка из распределения сл.в. ξ с

элементов выборки строго меньших x R. Величина μ(x) является случайной, принимает значения из множества {0 ,…, n} с вероятностями

Таким образом, величина μ(x) распределена по биномиальному закону Bi (n,p) с параметрами n и p=Fξ(x) , а значит, имеет числовые характеристики M μ( x)=nFξ( x)иDμ( x)=nFξ( x)(1−Fξ( x))

Для доказательства несмещенности найдем ~n( ) .

M F x

что по определению означает несмещенность оценки. Для доказательства состоятельности снова воспользуемся неравенством Чебышёва. Для любого ε>0 имеем

Теорема о несмещенной оценке дисперсии.

Пусть X1, X2,…,Xn L(x,θ) --- выборка из распределения сл.в. ξ с конечным математическим ожиданием Mξ = a < ∞ и дисперсией Dξ = σ2. Выборочная дисперсия:

является несмещенной оценкой дисперсии. Доказательство.

Так как элементы выборки предполагаются независимыми случайными величинами, то при i≠j:

M( Xi Xj)= M( Xi) M ( X j)=a a=a2 Еслиi= j,то M ( Xi X j)=M ( X2i )=σ2+a2

~2 2

Для доказательства несмещенности покажем, что M (σ )=σ .

(1)

Рассмотрим первое слагаемое, стоящее в скобках под знаком суммы. Так как элементы выборки представляют собой одинаково распределенные случайные величины, то

M ( X21)=...=M ( X2n)=Mξ2=Dξ+( Mξ)2=σ2+a2

Второе слагаемое можно записать в виде:

При вычислении третьего слагаемого одно x распишем по определению, второе x оставим в прежнем виде. Получим: