АИГ / zachet АЛГЕМ
.pdf
Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве
En евклидово пространство A : En ! En линейный оператор Опера- òîð B : En ! En называется сопряженным к оператору A, если для любых векторов x; y 2 En выполняется: (Ax)y = x(By). Тогда B = A .
Каждый линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, имеет сопряж¼нный оператор, и притом только один.
b(x; y) билинейная функция
Линейное преобразование A на En называется присоединенным к билинейной функции b(x; y), если для каждого вектора x; y 2 En выполняется: b(x; y) =
(x; Ay).
Каждая билинейная функция имеет единственное присоединенное преобразование.
Для симметричных билинейных функций и только для них присоединенное преобразование является самосопряженным.
Симметрические операторы
Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве E, называется симметрическим (или самосопряж¼нным), если он является сопряженным с самим собой. Оператор A является самосопряженным тогда и только тогда, когда для любых векторов ~x; ~y 2 E выполняется равенство:
(A~x; ~y = ~x; A~y)
Теорема. A линейный оператор, A(U) U
U инвариантное пространство Тогда A(U?) U?
Доказательство. 'A(~x; ~y) = (~x; A~y)
'A(~x; ~y) = 'A(~y; ~x) =) A называется самосопряженным или симметричным
оператором. |
|
|
|
|
|||
~x 2 U; A~x 2 U =) U инвариантно |
|
|
|||||
~y |
2 |
U?; A~y |
2 |
U? = U? инвариантно |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||
~x 2 U; ~y 2 U? |
(~x; ~y) = 0 |
|
|
||||
(~x; A~y) = 0 |
|
|
|
|
|
||
(~x; A~y) = ' |
A |
(~y; ~x) = (~y; A~x) = 0 = A(U?) |
|
U? |
|||
|
|
|
|
) |
|
||
21
Теорема о существовании для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов
(!не уверена в док-ве, ибо вообще его не понимаю)
Теорема. Теорема о существовании для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов Для самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов.
Доказательство.
A самосопряженный оператор.
L = V1 V2 : : : Vk :
1)dim Vk = 1 [ 2
2)A(Vi) Vi
3)Vi ? Vj
1.Рассмотрим V1. L = V1 V1? V1 инвариантное пространство.
2.Рассмотрим V1? (ïðèì. 1)
3.Рассмотрим Vp: dim Vp = 2.
(~x; ~y) ортонормированный базис Vp
A = b |
c! |
матрица самосопряженного оператора |
||||
a |
b |
|
|
|
|
c t! |
|
|
|
|
|
b |
|
fA(t) = det(A |
|
tE) = det |
a t |
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c t |
= (a |
|
t)(c |
|
t) |
|
b2 |
|
|
|||
|
a t |
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; t2 |
корни |
V = |
|
существуют собственные векторы |
|
~ |
|||||
D > 0 = t1 |
|
|
|
|
|
|
= ~e; f |
|||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
) |
|
|
!!
a |
0 |
x1 |
= 0 |
|
|
|
0 |
a |
x2 |
|
|
||
|
! |
|
! |
|||
|
0 |
a t2 |
x2 |
|||
a t1 |
0 |
|
|
x1 |
= 0 |
|
2 ~ 2 ?
~e V; f V
22
Фигуры второго порядка на плоскости и в пространстве
Фигуры второго порядка на плоскости
Классификация линий второго порядка на плоскости Определение и построение эллипса, гиперболы, параболы Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы Директориальное свойство Сопряженная гипербола
Поверхности второго порядка
Классификация поверхностей второго порядка Метод сечений Поверхности вращения Конические поверхности
Цилиндрические поверхности
Определения и канонические уравнения эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, конусов и цилиндров второго порядков
Простейшие свойства
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида
23