АИГ / zachet АЛГЕМ

Основные свойства многочленов Деление с остатком, теорема Безу Схема Горнера Общие свойства корней многочленов Формулы Виета

Основная теорема алгебры комплексных чисел Корни многочленов с вещественным коэффициентом Кубические уравнения

Группы

Циклические группы

В любой группе можно определить степени элемента j с целыми показателя-

ìè.

g 2 G, G группа

< g >= G циклическая группа, если все степени элемента g образуют группу G.

Изоморфность циклической группы и группы целых чисел

Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе Znf0; 1; : : : ; n 1g со сложением по модулю n (е¼ также обозначают Z=nZ), а каждая бесконеч- ная изоморфна Z, группе целых чисел по сложению.

В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.

11

Разбиение на смежные классы

Левым смежным классом группы G по множеству H назовем множество вида aH = fa xjx 2 Hg G. Аналогично определяется и правый смежный класс

Ha. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

Теорема. Левые смежные классы G по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство.

Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса aH и bH с общим элементов c. Докажем, что aH bH.

Пусть g = a h; h 2 H.

Известно: c = a ha = b hb; ha; hb 2 H =) a = b hb ha 1. Тогда g = a h = b hb ha 1 h 2 bH, поскольку hb ha 1 h 2 H.

Значит, aH bH. Аналогично, bH aH.

Теорема Лагранжа

Теорема. Теорема Лагранжа В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.

Доказательство.

Пусть G - конечная группа, а H - ее подгруппа. Любой элемент x 2 G входит в некоторый смежный класс по H (a входит в aH).

Мощность каждого класса равна jHj, т.к. отображение x ! a x биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что jGj делится на jHj.

Нормальная подгруппа

Подгруппа H группы G называется нормальной подгруппой, если для любых x 2 G выполнено: xHx 1 = H.

Гомоморфизмы групп

G; H группы

Отображение f : G ! H называется гомоморфизмом, если: f(ab) = f(a)f(b), a; b 2 G.

12

Свойства гомоморфизма групп:

1. f(e) = e0; f : G ! H; e 2 G; e0 2 H; e = e0.

Предположим, f(e) = h.

h2 = f(e)f(e) = f(e2) = f(e) = h h2 = hj h 1

h = e0

f(e) = e0

2.f(a 1) = f(a) 1

e = f(e) = f(a a 1) = f(a)f(a 1)

3.ImG = fb; f(a) = b; a 2 Gg

ImG подгруппа группы H

4.ker f = fa; f(a) = e0g

ker f нормальная подгруппа

1)f(ab) = f(a)f(b) = (e0)2 = e0 =) a; b 2 ker f

2)f(a 1) = f(a) 1 = (e0) 1 = e0 =) a 1 2 ker f

3)f(gag 1) = f(g)f(a)f(g 1) = f(gg 1) = f(e) = e0 =) gag 1 2 ker f

5.f(g1) = f(g2) () g1 g2(mod ker f)

f(g1) = f(g2)

f(g1) 1f(g1) = f(g1) 1f(g2)

e0 = f(g1 1)f(g2)

e0 = f(g1 1g2) =) g1 1g2 2 ker f =) (def)g1 g2(mod ker f)

6.f(an) = f(a)n

7.8g 2 Gf(g)k = e0; ordg = k ordg = k, ò.å., gk = e

f(gk) = f(g)k

f(gk) = f(e) = e0 ordf(g) = k

Следовательно, f(g)k = e0.

13

Линейные операторы и квадратичные формы

Квадратичные формы

Прямая сумма линейных пространств

Векторное пространство V разлагается в прямую сумму подпространств L1; L2; : : : ; Lk, если эти подпространства независимы, а их суммы представляют собой пространство V :

V = L1 L2 Lk прямая сумма

8~v 2 V : ~v = u1 + u2 + + uk;

ãäå ui 2 Li; i = 1; : : : ; k; ui проекция ~v на Li

Линейные функции

Линейной формой (или функцией) на векторном пространстве V называется функция : V ! K, удовлетворяющая свойствам:

1.(~x + ~y) = (~x) + (~x)

2.( ~x) = (~x)

Билинейные симметрические формы

Билинейная форма линейна по каждому аргументу:

: V V ! K

1.(~x + ~z; ~y) = (~x; ~y) + (~z; ~y)

2.(~x; ~y + ~z) = (~x; ~y) + (~x; ~z)

3.( ~x; ~y) = (~x; ~y)

(~y; ~x) для любых векторов ~x; ~y 2 V .

14

Квадратичные формы

Пусть : V V ! K симметрическая билинейная функция над полем K; char 6= 2.

Функция q, определяемая q : V ! K; q(~x) = (~x; ~x), называется квадра-

тичной функцией (формой), ассоциируемой с функцией .

Существование ортогонального базиса относительно билинейной симметрической формы

: V V ! K симметрическая билинейная функция над полем K q : V ! K квадратичная функция, ассоциируемая с функцией

(e~1; e~2; : : : ; e~n) базис V

(~x; ~y) = 0 =) ~x; ~y ортогональны: ~x?~y A = (e~i; e~y)

Vk =< e~1; e~2; : : : ; e~k >

Ak матрица функции на подпространстве V

k = det Ak угловые миноры k-го порядка матрицы Ak

Если все угловые миноры 1; 2; : : : ; n матрицы A отличны от нуля, то су-

Квадратичная форма определяется через линейную функцую.

Процесс ортогонализации Грамма - Шмидта

Процесс построения ортонормированного базиса называется ортогонализацией Грамма - Шмидта.

15

Положительно определенная квадратичная форма

: V V ! K симметрическая билинейная функция над полем K K = R поле вещественных чисел

q : V ! K квадратичная функция, ассоциируемая с функцией

Вещественная квадратичная функция называется положительно определенной, если q(~x) > 0; ~x 6= 0.

Закон инерции

Нормальный вид квадратичной формы:

q(~x) = x21 + x22 + + x2k x2k+1 x2k+2 x2k+l

Теорема. Закон инерции

Числа k è l в нормальном виде вещественной квадратичной функции не зависят от выбора базиса, в котором эта функция имеет нормальный вид.

k положительный индекс l отрицательный индекс

Критерий Сильвестра

Теорема. Критерий Сильвестра

16

Вещественная квадратичная функция положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры е¼ матрицы положительны.

Доказательство.

Необходимость. q(~x) > 0; x 6= 0

i-ый диагональный элемент положителен, так как q(~x) > 0 в том числе и

для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме i-ого. При приведении

матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определ¼нной квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

Достаточность. Имеется положительность миноров.

Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в канониче- Mj+1 определяет знак j+1-го элемента в диа-

Mj

гональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть, квадратичная форма определена положительно.

Евклидовы линейные пространства

Евклидовым векторным пространством называется действительное векторное пространство с фиксированной положительно определенной симметриче- ской билинейной функцией. Эта функция называется скалярным умножением.

Следовательно, выполняются свойства:

17

Линейные операторы

Матрица линейного оператора

A : L ! L линейный оператор

(e~1; e~2; : : : ; e~n) базис L

A~e1 = a11e~1 + a21e~2 + + an1 e~n A~e2 = a12e~1 + a22e~2 + + an2 e~n

: : :

Ae~n = a1ne~1 + a2ne~2 + + anne~n

A матрица линейного оператора

Каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n.

Каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.

Инвариантное подпространство линейного оператора

A : L ! L линейный оператор

Подпространство U L называется инвариантным, если A(U) U.

~x 2 U; A~x 2 U

Собственные векторы оператора

L линейное пространство над полем K A : L ! L линейный оператор

Ненулевой вектор ~x 2 L называется собственным вектором оператора A, если

A~x = ~x; 2 K.

Элемент при этом называется собственным значением.

Теорема. det(A E) = 0.

18

Доказательство.

A~x = ~x () A~x ~x = 0 () (A E)~x = 0

~x(x1; x2; : : : ; xn)

Полученная система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю, т.е., det(A E) = 0.

Характеристический многочлен

A матрица оператора

Многочлен вида f( ) = det(A E) называется характеристическим.

~0

Теорема. A1; A2 матрицы оператора в (~e); (e )

Характеристический многочлен не зависит от выбора матрицы оператора: det(A1 E) = det(A2 E).

Доказательство.

det(A2 E) = det(C 1A1C E) = det(C 1A1C CC 1) = det(C 1A1CC 1C) = det(C 1(A1C E)C) = det C 1 det(A1 E) det C = det(A1

E).

Теорема. Собственные значения оператора A есть корень его характеристического многочлена.

Комплексификация действительного линейного пространства

Введение (рассмотрение) комплексного линейного пространства Lc и опера- òîðà Ac называется комплексификацией линейного пространства.

Теорема. Любой линейный оператор в комплексном линейном пространстве имеет собственный вектор.

Доказательство.

L действительное линейное пространство

Lc = f~x + i~y; ~x; ~y 2 Lg

(x~1 + iy~1) + (x~2 + iy~2) = x~1 + x~2 + i(y~1 + y~2)

( + i)(~x + i~y) = ~x + i~x + i~y + i2~y = ( ~x ~y) + i( ~x + ~y) A : L ! L

Ac : Lc ! Lc

Проверка линейности Ac:

Ac(~x + i~y) = A~x + iA~y

Ac( + i)(~x + i~y) = ( + i)(A~x + iA~y)

19

Теорема о существовании инвариантных подпространств для линейных операторов над полем действительных чисел

Теорема. A : L ! L линейный оператор

Тогда существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство.

Lc; Ac

Пусть ~x + i~y собственный вектор Ac

Ac(~x + i~y) = ( + i)(~x + i~y)

A~x + iA~y = ( ~x ~y) + i( ~x + ~y)

A~x = ~x ~y

A~y = ~x + ~y

1 случай. ~x k ~y =) V =< ~x > A(V ) V ~x k ~y =) ~y = ~x

A~x = ~x ( ~x) = ( )~x ~x 2 V; ( )~x 2 V

V < ~x >; A(V ) V

2 случай. ~x k ~y =) V =< ~x; ~y >

~

d произвольный вектор

~ 2 d = d1~x + d2~y V

Теорема о собственных подпространствах, отвечающих различным собственным значениям оператора

(!из программы зачета) Собственные подпространства, отвечающие различ- ным собственным значениям оператора, линейно независимы.

Необходимое и достаточное условие существования базиса из собственных векторов линейного оператора

(!из программы зачета) 1) характеристический многочлен разлагается на линейные множители 2) размерность каждого собственного подпространства равна кратности со-

ответствующего корня многочлена

20