3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Замечание• . Из данного свойства следует, что если ряд сходится, то его остаток
при , т.е. =
Необходимый признак сходимости числового ряда
•Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. = . (Обратная теорема неверна, т.е., если = , то ряд необязательно сходится. Пример: ).
Доказательство:= Пусть ряд= сходится и .
Тогда и (при и ). Учитывая, что = при получаем:
== = = = 0.
Следствие.
(Достаточное≠ условие расходимости ряда).
•Если или этот предел не существует, то ряд расходится.
Доказательство:
Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме = . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение. ≠ 0.
Ряд расходится, т.к. = = 3
Пример 2. Исследовать сходимость ряда + + …+ + ….
•Решение.≠Ряд0.расходится, т.к. = = =
3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов (знакоположительных рядов).
•Замечание. Знакоотрицательный ряд умножается на (-1), что не влияет на сходимость ряда.
Признаки сравнения. |
|
|
Теорема. I признак сравнения. Если 0 |
≤ ≤ |
, начиная с |
некоторого номера = , и ряд |
|
|
+ +… = (2) сходится, то сходится и ряд (1): + + +…
Если же ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Замечание. В качестве рядов для сравнения можно взять||<1
геометрическую прогрессию||≥1, , которая сходится при
и расходится при и гармонический ряд , который расходится.
Пример.
Исследовать• сходимость ряда
+ + + … + + …
Решение. = . Сравним его с рядом геометрической<1. прогрессии , который сходится, т.к. =
Обозначим общий член = . |
|
и |
< |
Так как |
, то по I признаку сравнения сходится |
искомый ряд.
|
n 1 |
n |
при n 2. |
||
1. n 1 расх. т.к. |
|||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Теорема. II признак сравнения (предельный признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел = (в частности, ), то ряды и сходятся или расходятся одновременно ( ).
Пример• . Ряд 1 + + + + … + + … расходится, так≠ 0, как по II признаку сравнения получим ) = =
а гармонический ряд , как известно, расходится.
|
|
Признак Даламбера |
|
|||
Теорема• |
. Пусть начиная с некоторого номера = , |
|||||
и существует предел |
|
|
|
|
||
= Тогда ряд сходится при |
|
и расходится |
||||
1. |
|
1, |
вопрос открыт |
. |
||
при Если то |
|
<1 |
|
|
||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать сходимость ряда |
|||||
Решение.
Выпишем• = и = . Найдем = =
== =
== 3 = 3 =
=3 = 3 = 3 = > 1, следовательно, ряд расходится по
признаку Даламбера.
Радикальный признак Коши
Теорема. Пусть начиная с некоторого номера = , и существует = . Тогда ряд сходится при < 1 и расходится при 1. Если 1, то вопрос открыт.
•Пример. Исследовать сходимость ряда
+ + …+ + ….
Решение. Выпишем = .
Найдем = = = , следовательно, ряд расходится по достаточному признаку расходимости ряда.
Интегральный признак Коши Теорема. Если = (), где функция () > 0, монотонно
убывает и непрерывна при 1≤ ≤ , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.
•Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда . Решение. Все условия соблюдены для функции
() = , поэтому вычислим несобственный интеграл
== =
== +, значит, ряд расходится.