Четвертый семестр (вечерка) / ИДЗ / 5. Уравнение Шредингера / ИДЗ по теме уравнение Шредингера Попов А. П. гр. 8802
.docxМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра Физики
Индивидуальное домашнее задание
по дисциплине «Физика»
Тема: Уравнение Шредингера
Студент гр. 8802 __________________ Попов А. П.
Преподаватель __________________ Чурганова С. С.
Санкт-Петербург
2020
1. Написать уравнение Шрёдингира для стационарных состояний
Ответ.
- ψ + Uψ = Eψ
Или в кратком варианте:
ψ + (E-U)ψ = 0
, где m – масса частицы. – смотри 7 вопрос. U – Функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы. E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Ψ – пси функция, вид которой получается из решения уравнения Шредингера. – постоянная Диарака.
2. Написать выражение для волновой функции, описывающей одномерное движение свободной частицы
Ответ.
Частица движется в отсутствие внешних полей, т.е. U = 0, E = Ek (полная энергия частицы равна кинетической энергии).
3. Написать одномерное временное уравнение Шредингера
Ответ.
, где
4. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид . Найти решение уравнения
Ответ.
Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. (напряженность =E) в уравнении не зависит явно от времени, тогда волновую функцию Ψ (x,y,z,t) следует искать в виде произведения двух функций Ψ (x,y,z,t) = ψ (x,y,z) φ(t), одна из которых зависит только координат, другая – от времени.
Подставляя волновую функцию в уравнение, и разделив затем обе части уравнения на ψ (x,y,z) φ(t), получаем
= ψ
Для функции ψ (x,y,z)
=E .
ψ+Uψ=Eψ;
ψ+ (E - U) ψ = 0.
5. Написать уравнение Шредингера для стационарных состояний (случай трёх измерений)
Ответ.
+ + + (E - U) ψ = 0.
6. Написать уравнение Шредингера для стационарных состояний в операторной форме (случай трёх измерений)
Ответ.
ψ + (E-U) = 0
7. Как называется и что обозначает значок Δ в уравнении Шредингера в операторной форме. Ответ.
Значок Δ или же – это оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам (градиент второго порядка).
+ + =
8. Написать временное уравнение Шредингера (случай трех измерений)
Ответ.
+ U (x,y,z,t) * = iħ
9. Написать временное уравнение Шредингера в операторной форме
Ответ.
( + + )+ U (x,y,z,t) * = iħ
10. Написать выражение для волновой функции, описывающей движение свободной частицы (трехмерный случай)
Ответ.
|ψ( ,t)|2dv ≡ |ψ(x, y, z, t)|2dxdydz это вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг точки x, y, z.
11. Написать уравнение Шрёдингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме
Ответ.
Потенциальная энергия электрона в атоме где -заряд ядра => или
12. Написать уравнение Шрёдингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси Х со скоростью V. Найти решение этого уравнения.
Ответ.
У свободной частицы потенциальная энергия равна нулю, поэтому
Eψ = - .
Умножим на и пусть k2 = , тогда
+ k2ψ = 0 – искомое уравнение.
Решение ищем в виде = Aeλx, где A – амплитуда, λ – длина волны. Такое параметрическое уравнение имеет вид λ2 + k2 = 0, тогда
Ψ = A1eikx + A2 e-ikx.
С учетом зависимости ориентации от времени = A1 ei(kx-ωt) + A2 e-i(kx-ωt).
Первое слагаемое соответствует волне, движущейся в положительном направлении оси Ox, второе – в отрицательном. Полагая A2 = 0, получаем
Ψ = A1eikx
13. Написать выражение для собственного значения энергии частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.
Ответ.
Такая яма описывается функцией
, где n – квантовое число.
14. Написать выражение, определяющие вероятность обнаружения частицы в интервале от X до X+dx (в одномерном случае)
Ответ.
dω = |ψ|2dx = | |2 dx
15. Написать выражение, определяющие вероятность обнаружения частицы в интервале от до (в одномерном случае)
Ответ.
Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обнаружения частицы в интервале x1 < x < x2 определяется выражением
p = dx
16. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой функции, а о квадрате её модуля
Ответ.
Квадрат модуля волновой функции имеет определённый физический смысл. Аналогично тому, как в волновой оптике мерой интенсивности волны, является квадрат амплитуды, так является мерой интенсивности электронной волны, пропорциональной концентрации частиц.
17. Может ли быть больше единицы? Ответ обосновать.
Ответ.
Нет. Функция – это характеризующая вероятность. В курсе математической статистики разъясняется, что вероятность может принимать значения от 0 до 1.
18. Может ли быть больше единицы? Ответ обосновать.
Ответ.
Нет. Это тоже характеристическая вероятность.
19. Чем обусловлено требование конечности Ψ-функции?
Необходимостью четкой характеристики состояния микрочастицы и свойствами характеристической вероятности. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:
конечной (вероятность не может быть больше единицы);
однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);
непрерывной (вероятность не может меняться скачком).
20. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид . Исходя из этого уравнения, обосновать требования, предъявляемые волновой функции - ее непрерывность и непрерывность первой производной от .
Ответ.
Значение положительной энергии и полной энергии (Е), как и сама => должна быть ограничена. А это возможно, если непрерывна , но что бы существовала во всей интересующей нас области, должна быть непрерывна.
Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции , , . Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.