Второй семестр (вечерка) / Практика / 8. Практика по неопределенному интегралу
.docx
[I] ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ, НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
f(x) |
|
f(x) |
|
1. xa a¹-1 1, x, |
xa+1/(a+1); x,x2/2, |
8. 1/sin(x) |
ln(ïtg(x/2)ï) |
2. 1/x |
ln(|x|); x∊R\{0} |
9. 1/cos(x) |
ln(ïtg(x/2+p/4)ï) |
3. ax ; a>0 ex |
ax/ln(a) ex |
10. |
a≠ 0 |
4. sin(x) |
- cos(x) |
11. |
; a≠ 0 «двухэтажный логарифм» |
5. cos(x) |
sin(x) |
12. |
;a≠0 «длинный логарифм» |
6. 1/cos2(x) |
tg(x) |
13. |
a≠ 0 |
7. 1/sin2(x) |
-ctg(x) |
14.f(t) →F(t) ⇒ |
[II] Г.Б. Двайт «ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ и другие математические формулы», М. ,Наука, 1977
[III] Приведение к «табличному виду»: Метод «замены переменной»:
[IV] Приведение к «табличному виду»: Метод «интегрирования по-частям»:
ОТТ - Основные Тригонометрические Тождества:
0) sin2(x)+ cos2(x)=1; d(sin(x))=cos(x)dx; d(cos(x)= -sin(x)dx;
1) 1+tg2(x)=1/cos2(x); d(tg(x)=dx/cos2(x); 1+ctg2(x)=1/sin2(x); d(ctg(x)= - dx/sin2(x);
2) sin2(x)=0.5( 1- cos(2x) ); cos2(x)=0.5( 1+cos(2x))
3) 2sin(x)cos(x)=sin(2x); cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) = 2cos2(x)-1 = 1-2sin2(x)
ПРАКТИКА: «Таблица первообразных. Неопределённый интеграл».
ЭКЗ. Для заданной функции f(x) найти : 1) множество первообразных FС (x); 2) первообразную F0(x), удовлетворяющую началь- ному условию: F0(x0∊DF)=y0.
M0(1,1)⇒∃!
F0(x)=2-1/x;
x>0;
FС
(x)=C - 1/x ; C∊R;
x<0 ∧
x>0
1. « Табличное интегрирование» :
2. «Расширение» таблиц: ⇒
Выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене: x2+bx+c= (x+b/2)2- b2/4 +c
3. Приведение к табличному виду: метод «замены переменной».
3.1 «Подведение под знак дифференциала»:
3.2 Приведение к табличному виду: «Метод подстановки»:
4. Приведение к табличному виду: метод «интегрирования по частям».
КР-3 по теме «Первообразная и неопределённый интеграл».
Задание. Для каждого примера:
1) Найти неопределённый интеграл , используя методы «замены переменной», «интегрирования по частям», таблицу первообразных и тригонометрические тождества. 2) Доказать тождество F’(x)≡f(x).