Учебники 80377

Матричная форма уравнений для перемещений узлов имеет следующий вид:

Решение систем уравнений (2.35) относительно коэффициентов α1…α16 позволяет получить соотношение

{α1-16}=[Q] {U},

где

69

Относительные деформации описываются следующими выражениями:

Матрицы [Q] и [L] получены, матрица [D] берётся из табл. 7. Этого достаточно для запуска математического процесса построения матрицы [K] в соответствии с (2.33). Развёрнутая запись матрицы [K] не требуется.

70

2.3. Глобальная матрица жёсткости системы

2.3.1. Общая и местная системы координат

До сих пор КЭ рассматривались изолированно, без учёта того, что каждый из них является частью системы (ансамбля), моделирующей реальное сооружение или его часть (конструкцию, основание). Процедура МКЭ предполагает включение членов (Kij) готовых (известных из теории или вновь созданных) матриц жёсткости конечных элементов в глобальную (общую) систему уравнений, выражающую равновесие и неразрывность узлов.

При расчёте стержневых систем узловые перемещения должны быть преобразованы в связи с переходом от местной (локальной) x1, y1, z1 к общей (глобальной) X, Y, Z системе координат. Покажем это на примере стержня с тремя степенями свободы в узле в плоскости XОZ (рис. 30, а, б).

Рис. 30. Общая и местная системы координат: а – стержень М;

б – направления векторов U1…U6, F1…F6, х1i, х2i, х3i, х1k, х2k, х3k, PM1…PM6

Плоский КЭ на рис. 30, а находится в общей XОZ и местной x11z1 системах координат. В местной системе номера узлов в начале (конце) стержня 1 (2). В общей системе приняты сквозные нумерации узлов и конечных элементов, начиная с единицы. Местная система расположена под углом α к общей системе координат. Уравнения связи между координатами в общей и местной системах:

где X1, Z1 – координаты узла 1, отсчитываемые от точки О (см. рис. 30, а). Примем обозначения: U1, U2…U6 – по-прежнему перемещения в местной

системе (рис. 30, б), х1i, х2i, х3i, х1k, х2k, х3k – перемещения тех же узлов в общей системе, где им присвоены номера i и k. Обе группы перемещений связаны следующими соотношениями:

U1= х1icosαМ+х2isinαМ; U2=− х1isinαМ+х2icosαМ; U3=x3i;

U4= х1kcosαМ+х2ksinαМ; U5=− х1ksinαМ+х2kcosαМ; U6=x3k.

71

Аналогичным путём силы F1, F2…F6 в местной системе уравниваются с силами PM1, PM2…PM6 (М – номер стержня) в глобальной системе:

2.3.2. Формирование систем уравнений

Стержневая система. Равновесие k-го узла. Каждое уравнение глобальной системы выражает равновесие узловых сил по направлению одного из перемещений. Каждое неизвестное представляет собой одно из возможных (определяемых в расчёте) перемещений каждого узла, объединяющего концы контактирующих элементов.

На рис. 31, а показан фрагмент плоской стержневой системы с тремя степенями свободы в узлах. В k-м узле соединяются два конечных элемента M и N с номерами узлов i−k и k−l в общей системе и 1−2 в местных системах. К k- му узлу приложены силы P1k, P2k, Р3k , приведенные к общей системе координат.

Равновесие k-го узла может быть выражено при помощи уравнений

P1k= FM4cosαM − FM5sinαM+FN1cosαN −FN2sinαN,

P2k= FM4 sinαM +FM5cosαM+FN1sinαN +FN2cosαN,

P3k= FM6+FN3,

72

Вуравнениях (2.44) индексы М по-прежнему используются для обозначения параметров, относящихся к стержню i−k. Запись второго слагаемого в уравнении (2.43) аналогична (2.44), но индексы М заменяются на N, а из матрицы жёсткости (2.4) используются первые три строки.

Вразвёрнутой записи уравнения (2.43)–(2.44) содержат по девять членов: по числу перемещений xqs (q=1, 2, 3; s=i, k, l), вызывающих реакции в узле. Уравнения (2.43)–(2.44) являются фрагментом общего матричного соотношения, в котором представлены узловые силы и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле. Это и есть глобальная система уравнений, не-

известными в которой являются перемещения xqs.

Равновесие k-го узла континуальной и комбинированной систем. Порядок составления систем уравнений для расчётных областей, состоящих из плоских (двухмерных) и пространственных КЭ, а также их сочетаний со стержневыми КЭ, аналогичен изложенному выше. Геометрические преобразования, подобные (2.41) и (2.42), как правило, не производятся, так как векторы степеней свободы в местной и общей системах совпадают.

Покажем построение уравнений равновесия на примере k-го узла комбинированной системы на рис. 32,а. В этом узле объединены вершины четырёх прямоугольных КЭ: А, B, C, D и концы двух стержневых КЭ: М и N.

Уравнения равновесия сил, сходящихся в k-м узле:

74

Рис. 32. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла комбинированной системы: а – стержни М, N, прямоугольные КЭ А, B, C, D в общей системе, узловые силы Pk; б – те же КЭ (условно раздвинуты) в местных системах (номера узлов 1, 2, 3, 4 те же, что а, b, с, d на рис. 27,в)

Последующие выкладки, выполняемые программой, заключаются в замене сил F произведениями перемещений узлов, присутствующих на схемах (на рис. 32 всего 9 узлов и 21 перемещение: по три степени свободы в узлах i, k, l и по две – в остальных шести узлах), на соответствующие коэффициенты матриц жёсткости конечных элементов. Всего в первое уравнение системы (2.45) войдут 18 неизвестных перемещений, во второе уравнение 21, в третье уравнение 6.

Уравнения (2.45) в развёрнутой записи являются частью общей (глобальной) системы, в которой участвуют все действующие (известные) узловые силы Р1,2,3k и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле.

2.3.3. О решении системы уравнений

Следующим этапом расчёта, который программа выполняет без участия пользователя, является решение глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для задач расчёта строительных объектов средней технической сложности число уравнений глобальной системы находится в пределах от менее ста до десятков тысяч.

Методы решения на ЭВМ систем уравнений высоких порядков является специальной областью математики. В вычислительных комплексах, реализующих МКЭ, преимущественно используются методы решения СЛАУ Гаусса и А.-Л. Холецкого или более сложные алгоритмы, основанные на модификациях идей этих методов.

Пользователю программного обеспечения МКЭ полезно учитывать следующие особенности глобальных матриц, влияющие на точность результатов, объём вычислений и режим работы ЭВМ.

75

1. Матрица глобальной системы уравнений имеет ленточную структуру (рис. 33). Это означает, что отличные от нуля элементы матрицы находятся только в пределах заштрихованной полосы («ленты»). Внутри «ленты» также имеются нули. Уменьшение ширины т «ленты» способствует минимизации вычислений.

Есть формула, по которой определяется ширина ленты:

т=(R+1)Q,

где R – наибольшая разность между номерами узлов отдельного КЭ, Q – число степеней свободы в узле.

Поэтому лучшая нумерации та, при которой разность номеров одного КЭ минимальна. Знание этого положения полезно авторам расчётов, несмотря на то что в современных программных комплексах нумерация узлов чаще всего выполняется автоматически.

Рис. 33. Матрица симметричной ленточной структуры

2. При решении систем линейных уравнений арифметические операции производятся с использованием логарифмов с 16-разрядной мантиссой. Это позволяет добиться необходимой точности решения, несмотря на накопления ошибок при округлениях.

2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта

Выше была рассмотрена центральная часть расчёта МКЭ – формирование и решение системы линейных уравнений, результатом чего является определение вектора перемещений всех свободных от закреплений узлов. При расчёте континуальных (плоских, пространственных, в том числе осесимметричных) систем это линейные перемещения x1,2,3k по направлениям осей координат, а при расчёте стержневых, комбинированных, плитных систем определяются также угловые перемещения.

Статический расчёт стержневой системы завершает преобразование осевых перемещений в перемещения в местных системах координат, определение

76

усилий F1–6 на концах стержней, используя для этого соотношения матриц жёсткости КЭ (2.4), и последующее построение эпюр M, Q, N.

Процедура расчёта МКЭ допускает приложение «местной нагрузки», т. е. сил, действующих в пределах длины стержней. В этом случае (как и в методе перемещений) в процессе решения задачи на ЭВМ выполняется дополнительный этап расчёта. Определяют усилия в стержнях от местной нагрузки, принимая закрепления концов неподвижными. Полученные при этом усилия в узлах складываются с узловыми силами. Результаты расчётов на «местную» (внеузловую) и «общую» (приложенную в узлах) нагрузки суммируются.

Статический расчёт континуальной (плоской, пространственной, в том числе осесимметричной) системы, а также континуальных КЭ в комбинированной системе продолжает определение деформаций и компонентов напряжений в КЭ при помощи соотношений {ε}=[B]{U} и {σ}=[D]{ε}=[D][B]{U}. В конечных элементах без внутренних узлов чаще всего бывает достаточно определить компоненты напряжений в их центрах. При необходимости (по заданию пользователя) программа вычисляет напряжения или относительные деформации в узловых точках.

2.4. Специальные конечные элементы

Из числа специальных КЭ наиболее употребительными являются две раз-

новидности: связи конечной жёсткости и жёсткие вставки.

Связи конечной жёсткости. Рассматриваемый вид КЭ (рис. 34,а,б) используется для описания упругоподатливых связей (условных «пружин») в узлах, на внешних границах или на контактах элементов внутри расчётных областей. Связи конечной жёсткости задаются по направлениям осей в глобальной системе координат.

Рис. 34. Связи конечной жёсткости: в узле на внешней границе (а) и на контакте внутри (б) расчётной области; k, l – номера узлов

КЭ в узле на внешней границе описывает связь конечной жёсткости по направлению одной степени свободы. Это может быть сила, вызывающая единичное перемещение узла по направлению одной из осей X, Y, Z, или момент, вызывающий единичный поворот относительно одной из тех же осей.

77

КЭ, моделирующие упругоподатливые связи внутри расчётных областей, описываются как силы, вызывающие взаимное единичное перемещение узлов по направлениям осей X, Y, Z или взаимный единичный поворот узлов относительно тех же осей.

Описание упругоподатливой связи состоит из кода направления и числа, выражающего жёсткость связи (условной «пружины») при растяжении-сжатии (если связь противодействует продольному перемещению) или при повороте.

Размерность задаваемой жёсткости упругоподатливых КЭ – Н или Нм. Жёсткие вставки. Применение жёстких (бесконечно жёстких) фрагмен-

тов расчётных областей МКЭ является полезным (а иногда – незаменимым) инструментом инженерной схематизации.

Жёсткое тело представляется в виде группы узлов, расстояния между которыми остаются неизменными. В такой группе один узел ведущий, остальные –ведомые. Поступательные ui и угловые θi перемещения ведомых узлов связаны с соответствующими перемещениями u0, θ0 ведущего узла следующими соотношениями:

где r0-i – радиус-вектор, соединяющий ведущий и ведомый (i-й) узлы. Примером использования процедуры жёсткой вставки может быть расчёт

фундамента в виде жёсткого штампа. На расчётной схеме такого фундамента выделяется один ведущий узел с перемещениями u0, θ0, а остальные будут ведомыми со связями между перемещениями по соотношениям (2.46).

2.5. Решения физически нелинейных задач средствами МКЭ

Решение нелинейных задач МКЭ складывается (и это будет показано в дальнейшем) из процедурной основы (известного из теории математического процесса) и её содержательного наполнения: физических уравнений или соотношений. Физические уравнения (соотношения) отражают конкретные формы пластического деформирования, содержание расчётных моделей. Их рассмотрение содержится в третьем разделе.

Под процедурной основой понимаются канонические методы, представляющие собой (применительно к МКЭ) решения рекуррентных (повторяющихся) последовательностей систем линейных уравнений. В теории пластичности таких методов существует несколько. Ниже рассматриваются приёмы решения

нелинейных задач МКЭ, которые наиболее широко используются в современном программном обеспечении (программы ANSYS, PLAXIS, Midas GTS и др.):

метод упругих решений, метод Ньютона–Рафсона. Понятие об обоих методах даётся в виде схематичных описаний и двухмерных аналогий.

Метод упругих решений. Двухмерная аналогия итерационного процесса метода упругих решений (МУР) изображена на рис. 35. Кривая 0–1–2–i–(i+1)

78