Учебники 80377

ния ОА – гидростатическую ось. Рассмотрим связь между напряжениями σ1,2p и σ1,2е в графической форме. Допустим, что отрезок LE изображает изменение напряжённого состояния в элементарном объёме грунтового массива после приложения нагрузки: точка L (σ1,2=–р) соответствует начальному (природному) давлению; точка Е (σ1,2е) – результат линейного решения задачи, изображаемое ею напряжённое состояние физически невозможно.

В действительности в момент пересечения вектором LE пограничной прямой ВС (точка K) напряжённое состояние переходит в упругопластическую стадию, определяемую ломаной линией ВKР. Точка Р изображает напряжения

σ1,2p в соответствии с (3.4). Отрезок ЕР изображает разность между напряжениями σ1,2р и σ1,2е: ЕР= Fе(1–2ν±Λ*)/(1–2ν+Λ*sinφ), состоящую из девиаторной ЕМ и гидростатической МР частей:

ЕМ= Fе(1–2ν)/(1–2ν+Λ*sinφ), МР=–FеΛ*/(1–2ν+Λ*sinφ).

Для трёхмерной задачи при допущении о соосности σ1,2,3е, ε1,2,3е, σ1,2,3р уравнения, выражающие совместность деформаций и условие прочности, записываются в следующем виде:

где l, m, n – 1, 2, 3, остальные обозначения прежние (см. п. 1.3, 1.4). Совместное решение этих уравнений относительно σ1,2,3р и λ позволяет по-

лучить следующие соотношения связи между σ1,2,3р и σ1,2,3е и их инвариантами:

где F e = αI1e + I2e − k > 0.

Графическая форма связи напряжённых состояний σ1,2,3р и σ1,2,3е аналогична рассмотренной выше на рис. 39, но изображается в пространстве главных напряжений, где условие (3.10), заменяющее (3.4) для плоской задачи, имеет вид конической поверхности.

89

Изложенный выше способ определения главных напряжений σ1,2,3р и их положения на плоскости σ1, σ2 (в пространстве σ1, σ2, σ3) главных напряжений необходим, но не достаточен для решения упругопластической задачи. При замене относительных деформаций {εе} равными по величине упругопластическими деформациями {εр}+{εп} неразрывность системы сохраняется, но происходит нарушение равновесия, возникает «невязка сил».

Для корректного перехода от напряжений σ1,2,3е к σ1,2,3р необходимо выполнить следующую двухшаговую процедуру МУР на математической основе

МКЭ.

Первый шаг.

1. Определение главных начальных напряжений ∆σ1,2,3=σ1,2,3р−σ1,2,3е в конечных элементах, в которых получено Fe>0. Переход от главных напряжений ∆σ1,2,3 к осевым «начальным напряжениям» ∆σx, ∆σy, ∆σz, ∆τxy, ∆τxz, ∆τyz. Сложение начальных напряжений {∆σ} с компонентами напряжений {σе} линейного (упругого) решения задачи. На этом шаге расчёта в конечных элементах пластической области получены компоненты напряжений {σр}.

2. Определение вектора «невязки силы» в матричной форме в соответствии с соотношениями, принятыми в МКЭ: {∆Р}=V[B]T{∆σ}, где [B]T− транспонированная матрица соотношений Коши, V – объём конечного элемента; в условиях плоской деформации V=St; S – площадь конечного элемнта, t=1 м

(см) – толщина расчётной области.

Второй шаг. Наложение вектора сил {∆Р} с обратным знаком (−{∆Р}) на систему (расчётную область) в целом. Определение компонентов напряжений {σ∆Р} и относительных деформаций {ε∆Р} путём расчёта системы на воздействие сил {∆Р}. Получение новых напряжений и относительных деформаций в конечных элементах пластической области:

и в конечных элементах, в которых исходное (начальное) напряжённое состояние было допредельным:

Уравнения (3.11) и (3.12) не являются окончательными записями решения упругопластической задачи. Распределение напряжений в конце «второго шага» необязательно удовлетворяет установленным требованиям. После проверки на выполнение условий прочности на части расчётной области могут остаться или вновь появиться конечные элементы, в которых получено Fе>0. В этом случае новое распределение напряжений и деформаций принимается в качестве исходного, повторяется процедура метода начальных напряжений, а затем, если понадобится, повторяется необходимое число раз. Это означает, что процесс

90

решения упругопластической задачи является итерационным. Итерация заканчивается после того, как величина «начальных напряжений» (или некоторый характеризующий её параметр) удовлетворяет установленному критерию сходимости.

Число ступеней итерации можно уменьшить, а их размер – увеличить, при помощи коэффициента «ускорения сходимости» k>1,0 к величинам {∆σ}={σр}−{σе} в конечных элементах пластической области.

В связи с итерационным путём решения упругопластической задачи требуется корректировка уравнений (3.11) и (3.12) и придание им следующего окончательного вида:

где i, i+1 − номера ступеней итерации.

Уравнения (3.13) и (3.14) предопределяют алгоритм решения упругопластической задачи, который состоит из следующих расчётов, выполняемых на каждой ступени итерации.

1.Определение исходных компонентов напряжений {σе}i и деформаций {εе}i, полученных после действий предыдущей ступени итерации по уравнениям (3.13) и (3.14).

2.Определение компонентов напряжений {σp}i в соответствии с изложенным выше в настоящем параграфе (уравнения (3.4), (3.11), рис. 39).

3.Выполнение двухшаговой процедуры метода начальных напряжений:

–определение начальных напряжений {∆σ}i={σр}i−{σе}i и вектора «невязки сил» {∆Р}i= kV [B]T{∆σ}i или {∆Р}i= k St[B]T{∆σ}i;

–определение компонентов напряжений {σ∆Р}i и деформаций {ε∆Р}i путём

расчёта системы на воздействие сил {−∆Р}i.

4. Определение новых компонентов напряжений {σе}i+1 и деформаций {εе}i+1; проверка выполнения условий прочности и сходимости итерации.

Графической иллюстрацией процесса решения с использованием уравнений (3.13) и (3.14) являются ломаные линии на рис. 40, б, где точки Еi изображают напряжённо-деформированное состояние {σе}i−{εе}i в начале i-й ступени итерации на билинейной диаграмме ε=f(σ), а точки Рi – напряжения {σp}i.

При поэтапном приложении нагрузки приращения напряжений {δσе}j j-го этапа загружения добавляются к полученным после (j−1) этапов {σр}i;j-1. Эти суммы принимаются за исходные значения {σе}i=1;j, после чего выполняются расчёты метода начальных напряжений с использованием уравнений (3.13) и (3.14). Такой путь решения графически изображён на рис. 40, б. Пусть точка А обозначает достигнутый уровень напряжений и деформаций после (j−1)-го этапа приложения нагрузки. Отрезок АВ изображает связь напряжений {δσе}j и деформаций {δεе}j в соответствии с линейным решением при j-м догружении. В

91

этом случае использование соотношений (3.13), (3.14) равносильно предположению о том, что н ачальное напряжённо-деформированное состояние {σе}i=1;j−{εе}i=1;j в точке В состоит из упругой части СВ и р анее накопленных пластических деформаций ОС.

Пример расчёта. Рассмотрим реализацию изложенного выше решения на численном примере задачи о полосовой нагрузке на основании, ограниченном горизонтальной плоскостью.

Однородное основа ние, разделённое на конечные элем енты в виде прямоугольников (рис. 41), загружено полосовой нагрузкой с интенсивностью р=300 кПа и шириной полосы b=6 м в условиях плоской деформации. Для

грунта основания приняты следующие характеристики: Е= 30 МПа, ν=0,42, φ=200, с=30 кПа, Λ*=0, γ=18 кН/м3.

Рис. 41. Резул ьтаты расчета основания полосовой нагру зки 1 – граница пластической области; 2 – конечные элементы зоны разру шения по линейному

решению задачи; 3 – направле ния главных напряжений; 4 – плоскость си мметрии

На рисунке 40 заштр ихована «зона разрушения» [Fe=½(σ1е − σ2е) + ½(σ1е+ +σ2е)sin φ − c cos φ >0], полученная в результате первого упругого решения. Глубина её проникновения в основание составила 3.6 м. Пос ле пяти ступеней итерации величина параметра Fe во всех конечных элементах не превышала 1 кПа, и расчёт был прекра щён. При этом пластическая подобласть достигла размеров, очерченных на рис унке.

Перед началом ите рации вертикальные перемещения верхней границы основания составляли 5,2 мм в точке Е и 30,6 мм в точке D, горизонтальное пе-

92

ремещение в точке Е – 0,83 мм. В ходе расчёта вертикальные перемещения практически не изменилис ь, а горизонтальное перемещение в точке Е увеличилось на 0,42 мм.

На рис. 42, а изобр ажены круги Мора, соответствующие напряжённому состоянию в центрах конечных элементов № 95 и 75 (см. рис. 41) в начале расчёта (первое упругое решение) и после окончания итерации. Н а рис. 42, б показана динамика изменения касательных напряжений τmax=½(σ1 −σ2) (радиуса круга Мора) в этих же точках на диаграмме γmax=f(τmax). Вертикальные отрезки соответствуют уменьшению касательных напряжений на первом шаге каждой (i- й) ступени итерации, нак лонные – приложению системы сил {∆Р}i на втором шаге. Сплошные горизон тальные линии обозначают пластич еские составляющие деформации в начале расчёта, пунктирные – в конце расчёта. Их несовпадение связано с изменением в ходе итерации среднего нормального напряжения.

а)

б)

Рис. 42. Диаграммы, описываю щие итерационный процесс в конечных элементах (КЭ) №75 и №95: а – круги Мора по ре зультатам линейного расчета (1) и в кон це итерации (2); б – графики зависимости γmax=½(ε1−ε2)= f(τmax)

93

3.2. Программное обеспечение. Критерии предельных состояний

Всовременном проектировании и научных исследованиях геотехнических объектов находят применение несколько зарубежных программных комплексов, созданных для решения физически и (если требуется) геометрически нелинейных задач. Всех их объединяет математическая основа МКЭ по версии метода перемещений с «функциями формы» в виде степенных полиномов.

Ниже в качестве примеров рассматриваются хорошо знакомые российским специалистам версии программ PLAXIS 2D и Midas GTS, предназначенные для численного анализа плоскодеформируемых и осесимметричных геотехни-

ческих систем. Важным достоинством двухмерных задач (по сравнению с версиями 3D) является ограниченные размеры расчётных областей и связанная с этим доступность анализа выходной информации, причинных связей результатов расчётов с параметрами исходных данных.

Вдвухмерных версиях расчётных комплексов PLAXIS 2D и Midas GTS (как и других подобных программ в строительной области) реализованы следующие технические возможности:

– создание расчётных схем в режиме черчения с учётом неоднородности строения грунтовых оснований, геометрии сооружений, действующих нагрузок, граничных условий;

– автоматическая разбивка расчётных областей на конечные элементы с возможностью общего и локального измельчения сетки;

– моделирование этапов строительства и темпов возведения; описание начального напряжённого состояния с учётом процессов его формирования;

– моделирование строительных конструкций в виде стержневых и пластинчатых элементов (свайных рядов, стенок, геотекстиля, георешёток), взаимодействующих с основаниями и грунтовыми массивами;

– моделирование упругопластических моделей для грунтов с описанием предельного напряжённого состояния по уравнениям Мора-Кулона, ДруккераПрагера, ассоциированного или неассоциированного законов течения;

– расчётное описание других математических моделей грунта и геоматериалов из зарубежной расчётной (проектной) практики;

– расчёт нагрузочных эффектов (напряжений, деформаций, усилий, перемещений) в элементах геотехнических систем;

– расчёты устойчивости и несущей способности грунтовых оснований и откосных сооружений;

– оперативный анализ и представление результатов расчётов в виде таблиц, диаграмм (эпюр, графиков), изолиний, анимационных изображений.

Впрограмме PLAXIS 2D для описания используются два типа высокоточных конечных элементов: шестиузловой и пятнадцатиузловой треугольники (рис. 43).

94

Рис. 43. Шестиузловой и пятнадцатиузловой треугольные КЭ, используемые в программе PLAXIS 2D

В программе Midas GTS грунтовые плоские и осесимм етричные расчётные области описываютс я треугольными трёхузловыми и четырёхугольными (произвольной формы) четырёхузловыми КЭ. На рис. 44 показано основание

ленточного фундамента как пример описания расчётной области в программе

Midas GTS.

20 м

40 м

Рис. 44. Пример описания расчётной области в программе Midas GTS. Расчётная область основа ния ленточного фундамента: размеры, гра ничные условия,

членение на конечные элементы

Более полное предст авление о программах PLAXIS 2D и Midas GTS читатель может найти в Интер нете или в описаниях, предназначенных для пользователей. Современные про граммные комплексы постоянно развиваются и перерабатываются, в связи с че м описание действующих редакций быстро устаревает. Кроме того, словесные описания и чтение документов не могут заменить

95

пользовательской работы с программами, решений с их помощью конкретных научно-технических задач.

Особенностью решений нелинейных задач является выполнение расчётов по предельным состояниям обеих групп по одной расчётной схеме при одной модели грунта. Расчёт может быть выполнен путём поэтапного загружения: силовые воздействия вначале доводятся до значений, соответствующих расчёту по предельным состояниям второй группы; затем – увеличиваются (или уменьшаются) до размеров наиболее неблагоприятных расчётных величин.

На рис. 45 изображена структурная схема связей между видами предельных состояний в соответствии с и противостоящими им расчётными проверками.

Формы разрушения и деформирования, способы их выявления, присущие используемой модели грунта и математической процедуре, отражают следующие проверки ПС:

–сходимость итерационного процесса;

–достижение предельных размеров пластических областей;

–оценка степени прогрессирования перемещений в заданных узлах сис-

темы;

–достижение предельных значений пластических перемещений;

–образование кривых скольжения по линиям разрыва пластических деформаций грунта.

Сходимость итерационного процесса, т. е. решение, удовлетворяющее всем установленным требованиям (при допустимой невязке), свидетельствует о получении статического напряжённого состояния, исключающего потерю прочности и устойчивости.

Ограничение расчётных размеров пластических областей и величин пластических деформаций направлено на обеспечение стабильности грунтового континуума.

Оценка уровня прогрессирования перемещений в заданных узлах системы выполняется при помощи соотношения

R=(δU/δP)/(U/P) = (δU/U)×(P/δР), (3.15)

где R – параметр, характеризующий степень прогрессирования перемещений при достигнутом уровне нагрузки Р; δU – перемещения в заданных точках от нагрузки δP, составляющей 5÷10 % от полной величины нагрузки Р; U – перемещения в тех же точках от нагрузки Р. Нагрузки Р и δP могут представлять собой какое-то одно силовое воздействие (например, силу, вдавливающую сваю) или обобщать систему наиболее значимых сил.

96

Сущность рассматриваемой проверки иллюстрирует условный график «нагрузка-перемещение» н а рис. 46, а. Сравниваются наклон «касательной» АВ и секущей ОВ. Нагрузка Р считается предельной при достиж ении параметром R обусловленной величин ы.

Контрольные узлы, численные значения параметров, оп ределяющих критерии предельных состоян ий (число ступеней и допустимая н авязка итерации, параметр R, размеры пластических областей, абсолютная или относительная величина пластических частей перемещений) выбираются индивидуально применительно к условиям решаемых задач и являются предметом специальных исследований.

В двухмерных верс иях рассматриваемых программ (PL AXIS 2D и Midas GTS) используется следую щий приём расчёта устойчивости грунтовых массивов с получением расчётной линии скольжения и коэффицие нта запаса устойчивости. Расчёт представляет собой двухшаговую процеду ру. Вводимая информация содержит полное описание расчётной области, вк лючая расчётные значения механических характеристик грунтов. На первом шаге выполняется обычный упругопластический расчёт. Его результат фиксируе тся как расчётное распределение напряжений (усилий) и деформаций в системе. На втором шаге, принимая полученное ранее напряжённо-деформированное со стояние в качестве исходного, производят постепенное (одновременное и пропорциональное) снижение пары прочностных характеристик «tgφ-c» до получения предельного напряжённого состояния и образования линии скольжения ка к геометрического места разрыва пластических перемещений. Коэффициент зап аса устойчивости определяется как отношение начальных (расчётных) «tgφ-c» к конечным значениям тех же параметров, п ри которых получено предельное равновесие по расчётной линии скольжения.

Рис. 46. Графически е изображения к критериям предельных состояний:

а– диагр амма U=f(P) к определению параметра R;

б– кривая скольжения по расчёту основания армогрунтовой подп орной стенки

98