Учебники 80163

решением неоднородного уравнения (11.1). Для того чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (11.5):

y / x=x0 = y0 , y′/ x=x0 = y0′.

Пусть y1(x) и y2 (x) - два частных решения соответствующего однородного уравнения, образующие фундаментальную систему частных решений. В

Пусть y =ϕ(x) - какое-либо частное решение неоднородного уравнения

(11.1), удовлетворяющее начальным условиям (11.5). Покажем, что оно может быть выделено из решения (11.6) соответствующим подбором C1 и C2 .

то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения неизвестных C2 и C1:

y0 = y(x0 ) +C1 y1(x0 ) +C2 y2 (x0 ),

y0′ = y′(x0 ) +C1 y1′(x0 ) +C2 y2′ (x0 ),

или

C1 y1(x0 ) +C2 y2 (x0 ) = y0 − y(x0 ), C1 y1′(x0 ) +C2 y2′ (x0 ) = y0′ − y′(x0 ).

y = y(x) +C10 y1(x) +C20 y2 (x) в силу теоремы единственности будет совпадать срешением y =ϕ(x) Такимобразом, теорема доказана.

51

Лекция 8

12. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т.е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.

12.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотримуравнение

a0 y′′+ a1 y′+ a2 y = 0,

Какизвестно, длянахождения общегорешениялинейного однородного уравнения второго порядка достаточно знать его фундаментальную систему частных решений. Покажем, как находится фундаментальная система частных решений для однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Решение ищется в виде показательной функции, т. к. она обладает тем свойством, что её вид сохраняется при нахождении произведений любого порядка, а следовательно, слагаемыевыражения(12.1) отличаются друготдругатолькокоэффициентами.

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для y, y′и y′′в уравнение (12.1), получим

52

ekxk 2 + pkekx + qekx = 0.

Из этого уравнения определяются те значения k , при которых функция ekx будет решением уравнения (12.1).

Алгебраическое уравнение (12.3) для определения коэффициента k назы-

вается характеристическим уравнением данного дифференциального урав-

нения (12.1).

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет, следовательно, два корня. Эти корни могут быть либо действительными различными, либо действительными и равными, либо комплексными сопряженными.

Рассмотрим, какой вид имеет фундаментальная система частных решений в каждом из этих случаев.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различ-

ные: k1 ≠ k2.

В этом случае по формуле (12.2) находим два частных решения:

y1 = ek1x , y2 = ek2 x.

Эти два частных решения образуют фундаментальную систему решений на всей числовой оси, так как определитель Вронского нигде не обращается в нуль:

Следовательно, общее решение уравнения согласно формуле (11.4) имеет

вид

2. Корни характеристического уравнения равные: k1 = k2.

В этом случае оба корня будут действительными. По формуле (12.2) получаем только одно частное решение

y1 = ek1x.

Покажем, что второе частное решение y2 (x), образующее вместе с первым фундаментальную систему, имеет вид

53

y2 = xek1x.

Прежде всего, проверим, что функция y2 (x) является решением уравне-

ния (12.2).

Действительно,

y2″ + py2′ + qy2 = (xek1x )′′+ p(xek1x )′+ q(xek1x ) = 2k1ek1x + k12 xek1x + p(ek1x + xk1ek1x ) + qxek1x =

=ek1x (2k1 + k12 x + p + pxk1 + qx) =

=ek1x [x(k12 + pk1 + q) +( p + 2k1 )].

Но k12 + pk1 + q = 0, так как k1 есть корень характеристического уравнения (12.3). Кроме того, по теореме Виета p = −(k1 + k2 ) = −2k1. Поэтому

p + 2k1 = 0. Следовательно, y2″ + py2′ + q = 0, т.е. функция y2 (x) = xek1x действительно является решением уравнения (12.1).

Покажем теперь, что найденные частные решения y1 = ek1x и

y2 = xek1x образуют фундаментальную систему решений. Действительно,

Таким образом, в этом случае общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

Y = C1ek1x +C2 xek1x

или

3. Корни характеристического уравнения комплексные

Как известно, комплексные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами, т.е.

имеют вид k1 =α + βi, k2 =α − βi. В этом случае частные решения уравнения (12.1), согласно формуле (12.2), будут иметь вид

y1 = ek1x = e(α+βi) x = eαxeβix , y2 = ek2 xe = e(α−βi)x = eαxe−βix.

54

Применяя формулы Эйлера, выражения для y1 и y2 , можно записать в виде

y1 = eax (cos βx +i sin βx), y2 = eax (cos βx −i sin βx).

Эти решения являются комплексными. Чтобы получить действительные решения, рассмотрим новые функции

y1 = 12 ( y1 + y2) = eαx cos βx, y2 = 21i ( y1 − y2) = eαx sin βx.

Они являются линейными комбинациями решений y1 и y2 и, следовательно, сами являются решениями уравнения (12.1).

Легко показать, что определить Вронского для этих решений отличен от

нуля и, следовательно, решения y1 = eαx cos βx и y2 = eαx sin βx образу-

ют фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид

Y = C1eαx cos βx +C2eαx sin βx

или

Y = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx).

Приведем в заключение формулы общего решения уравнения (12.1) в зависимости от вида корней характеристического уравнения (табл.8).

55

Y = ex (C1 +C2 x).

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′+ 4 y′+13y = 0.

РЕШЕНИЕ: Характеристическое уравнение k 2 + 4k +13 = 0 имеет кор-

Y= C1 cos 2x +C2 sin 2x.

12.2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

в котором коэффициенты p и q по-прежнему некоторые числа и правая часть f (x) - известная функция. Как было показано выше, общее решение уравне-

ния (12.6) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

56

Метод нахождения общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами (12.1) подробно рассмотрен в предыдущем пункте. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (12.6) можно применить метод вариаций постоянных. Этот метод применим, вообще говоря, к любой правой части. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых имеют специальный вид, существует более простой способ нахождения частного решения. Этот способ называется методом подбора формы частного решения. Не приводя выводов, укажем форму, в которой следует искать частное решение в зависимости от вида правой части f (x) дифферен-

циального уравнения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y′′+ py′+ qy = f (x)

где y0 - общее решение соответствующего уравнения (12.6) без правой части,

определяемое по формулам (12.4)-(12.6), и Y - частное решение данного урав-

нения (12.7).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

или r = 2 ).

2.f (x) = eαx [Pn (x)cosbx +Qm (x)sin bx].

•Если ϕ(a +bi) ≠ 0, то полагают

Y= eαx [SN (x) cos bx +TN (x) sin bx], где SN (x) и TN (x) - мно-

гочлены степени N = max{n, m}.

•Если же ϕ(a +bi) = 0, то

Y= xreαx SN (x)cosbx +TN (x)sinbx ,

где r – кратность корней (a+bi) (для уравнений 2-го порядка r=1).

Пример 1: Найти общее решение уравнения 2 y′′− y′− y = 4xe2x.

57

ния f (x) = 4xe2x = eax Pn (x). Следовательно, Y = e2x ( Ax + B), так как n=1

и r=0.

Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим

2e2x (4Ax + 4B + 4A) −e2x (2Ax + 2B + A) −e2x ( Ax + B) = 4xe2x.

Сократим на e2x , раскроем скобки в левой части равенства и приведем подобные:

8Ax+8B+8A-2Ax-2B-A-Ax-B=4x, 5Ax+7A+5B=4x.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в левой и в правой частях:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y′′−6 y′+ 25y = e3x [(3x2 −2x + 4) cos 4x +(x −3) sin 4x ].

Общее решение данного уравнения будет иметь вид y = y0 +Y.

58

Правая часть данного уравнения

f (x) = e3x [(3x2 −2x + 4) cos 4x +(x −3) sin 4x ],

откуда видим, что α = 3 - коэффициент показателя степени e3x , m = 2 - наи-

высший показатель степени [(3x2 −2x +4) ] и n=1 – наивысший показатель

степени x-3 и b=4 - коэффициент аргумента cos4x или sin4x.

Таким образом, ϕ(a +bi) =ϕ(3 + 4i) = 0, т.е. 3+4i – совпадает с одним из корней характеристического уравнения k1, следовательно, r=1,

N=max{m.n}=max{2;1}=2.

Исходя из полученного будем иметь, что частное решение неоднородного уравнения:

Y = xe3x [(Ax2 + Bx +C)cos 4x + (Dx2 + Ex + F )sin 4x ].

Найдя Y′ и Y ′′, подставим полученные значения производных в левую часть

исходного уравнения и, раскрыв скобки в правой части, приравняем неизвестные коэффициенты при подобных членах правой части к соответствующим известным коэффициентам левой части. Получим линейную систему алгебраических уравнений, откуда и найдем по формулам Крамера (или иным методом) значение А, В, С, Д, Е и F. Подставив их в Y , найдем частные решения, после

y = y0 +Y.

Заметим, что при нахождении коэффициентов, обе части равенства со-

кращаются на e3x , это упрощает дальнейшие расчеты. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения должны быть даны начальные условия:

y(x0 ) = y0 и y′(x0 ) = y0′ , используя их, найдем C1 и C2 , а следовательно, и частное решение данного уравнения.

Лекция 9

13. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

13.1. Общие понятия

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу нескольких функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.

59

Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием

силы F движется материальная точка массы m. Требуется определить закон движения точки, т.е. зависимость координат точки от времени.

Сила Fr, под действием которой движется точка, вообще говоря, являет-

ся функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:

На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки запи- mar = F.

Проектируя векторы, стоящие в левой и правой части этого равенства, на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:

Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

60