Учебники 80163

для этого необходимо значение разнообразных физических законов и наличие известных навыков в переводе физических задач на математический язык. Универсального рецепта для составления дифференциальных уравнений не существует. В одних случаях полезно (особенно в задачах геометрического характера) использовать геометрический смысл производной от функции как тангенса угла наклона касательной к графику функции, в других - механический смысл первой и второй производных как скорости и ускорения процесса, иногда целесообразнее оказывается составить приближенные соотношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин или дифференциалами этих величин и т.д.

Рассмотрим несколько задач на составление и интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.

7.1. Задача об охлаждении тела

Ньютон установил, что скорость изменения температуры охлаждающегося тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (температура среды считается постоянной).

Обозначим через T температуру тела в момент времени t , через Tср - температуру окружающей среды (Тср Т). Скорость изменения температуры тела

дается производной от температуры по времени. Следовательно, по закону Ньютона

dTdt = −k(T −Tср),

где k - коэффициент пропорциональности, k 0.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем

T =Tср +Сe−kt

Для определения постоянной С необходимо задание начальных условий процесса. Пусть, например, в момент времени t0 температура тела равнялась

T0 . Тогда

T =Tср +С0e−kt0 , C0 = (T0 −Tср)ekt0 ,

т.е. закон изменения температуры охлаждающегося тела имеет вид

T =Tср +(T0 −Tср)e−k (t −t0 )0 .

Коэффициент k либо задается непосредственно, либо определяется с помощью дополнительного условия: T /t =t1 .

31

Таким образом, искомая кривая - парабола, в фокусе которой помещается источниксвета, аискомаяотражательнаяповерхностьпараболоидвращения.

7.3. Задачаоколебанияхвэлектрическойцепи

Электродвижущая сила E включается в некоторый момент времени (t = 0) в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции L и

33

сопротивления R . Требуется найти ток I в момент времени t , если в начальный моментвременионбылравен нулю.

По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжениянаиндуктивномиактивномсопротивлениях:

E = uL +uR ,

L dIdt + R 1 = E

Предположим, что электродвижущая сила меняется по закону

E = B sin ωt.

Задача определения закона изменения тока в цепи сводится, таким образом, к решению линейного неоднородного уравнения:

dIdt + RL I = BL sin ωt

сначальнымиданными t0 = 0, I0 = 0.

Решить полученное уравнение предлагается студентам самостоятельно.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Как уже говорилось выше, дифференциальным уравнением п-го порядка

называется соотношение

связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные до n -го порядка включительно. Всякое дифференциальное уравнение порядка выше первого называется уравнением высшего порядка.

Так, например, уравнения

y′′′−1 = 0, xy′−2 y′′+ y′3 = 0, y y3 −e4 y′′′ +1 = 0 - уравнения высших (соответственно третьего, второго и пятого) порядков.

34

Такое уравнение называется уравнением n -го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Так же как и дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков имеют, вообще говоря, бесчисленные множества решений, каждое из этих решений изображается на плоскости ХОУ некоторой кривой (интегральной кривой).

Дифференциальному уравнению второго порядка

легко дать геометрическое и механическое истолкование.

Кривизна кривой y =ϕ(x) в каждой ее точке вычисляется по формуле

видим, что дифференциальное уравнение второго порядка выражает зависимость между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом ее касательной и кривизной в этой точке. Интегральные кривые уравнения (8.3) - это кривые, которые в каждой своей точке имеют предписываемое уравнением соотношение между угловым коэффициентом касательной к кривой и кривизной.

Если независимую переменную (обозначим ее через t ) рассматривать как время, а искомую функцию y - как путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой за время t , то дифференциальное уравнение

уравнение - значит определить по указанной зависимости закон движения, т.е. дать соотношение y = f (t), позволяющее в любой момент времени t определять положение движущейся точки. Уравнение (8.4) определяет, вообще говоря, бесчисленное

35

множество решений (их называют движениями). Для того чтобы из этого бесчисленного множества движений выбрать определенное, в механике обычно задают началь-

ное положение точки, т.е. значение y при t = t0 (обозначим его y0 ), и начальную скорость, т.е. значение dydt при t = t0 (обозначимее y0′ ).

Так, например, при решении задачи о притяжении материальной точки m неподвижным центром О мы получили бесчисленное множество решений уравнения my′′ = −ky ( k - коэффициентпропорциональности) ввиде

Если в начальный момент времени (t0 = 0 ) точка m находилась от центра притяжения на расстоянии a0 ( y0 = a0 ) и не имела начальной скорости ( y0′ = 0), топостоянные C1 и C2 однозначноопределяютсяизсоотношений

y = C1 cosωt +C2 sin ωt, C1 = a0 ,

y′ = −C1ωsin ωt +C2ωcosωt, C2ω = 0, C2 = 0,

имыполучаем конкретное колебательное движение:

y= a0 cosωt.

Всвязи с тем, что дифференциальные уравнения широко применяются в механике, независимоотконкретногофизическогоилигеометрическогосмыслааргумен-

та x и искомой функции y , числа x0 , y0 , y0′, представляющие собой некоторое значение аргумента (x = x0 ) и значения искомой функции ( y = y0 ) и ее производной ( y′ = y0′ ) при этом значении аргумента принято называть начальными усло-

виями или начальными данными для уравнения второго порядка:

F(x, y, y′, y′′) = 0.

Говорят, что решение y =ϕ(x) этого уравнения удовлетворяет начальным

условиям x0 , y0 , y0′ , если ϕ(x0 ) = y0 , ϕ′(x0 ) = y0′.

Геометрически это значит, что соответствующая интегральная кривая уравнения проходит через точку (x0 , y0 ) плоскости ХОУ и имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом y0′ .

Не останавливаясь на механической и геометрической интерпретации дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков, заметим,

что для отыскания конкретного решения уравнения третьего порядка

F(x, y, y′, y′′, y′′′) = 0

36

достаточно, вообще говоря, задать значения y, y′, y′′ при некотором значении

x = x0 (начальные условия x0 , y0 , y0′, y0′′), для уравнения четвертого порядка - значения y, y′, y′′, y′′′ при x = x0 (начальные условия x0 , y0 , y0′ , y0′′, y0′′′) и т. д.

Для уравнения n -го порядка (8.1) или (8.2) начальными условиями называют систему из (n +1) -го чисел x0 , y0 , y0′ ,L, y0(n−1) , представляющих на-

чальное значение независимой переменной x(x = x0 ) и значения искомой функции y и всех ее производных до (n −1) -го порядка включительно при

x = x0 .

Решение y =ϕ(x) уравнения (8.1) или (8.2) удовлетворяет начальным ус-

ловиям x0 , y0 , y0′ ,L, y0(n−1) , если

ϕ(x0 ) = y0 , ϕ′(x0 ) = x0′ ,L,ϕ(n−1) (x0 ) = y0(n−1).

Отыскание решения уравнения (8.1) или (8.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям x0 , y0 , y0′ ,L, y0(n−1) , называется решением задачи Коши для

этих уравнений.

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешенного относительно старшей производной, даются теоремой, сформулированной по аналогии с теоремой Коши для уравнения первого порядка на геометрическом языке.

Теорема Коши Если функция (n +1) -го переменного f (x, y, y′,L, y(n−1) ) в

некоторой области D (n +1)-мерного пространства непрерывна и имеет не-

прерывные частные производные по y, y′,L, y(n−1) , то, какова бы ни была

точка (x0 , y0 , y0′ ,L, y0(n−1) ) этой области, существует, и притом единствен-

ное, решение y =ϕ(x) уравнения

y(n) = f (x, y, y′,L, y(n−1) ) ,

определенное в некотором интервале, содержащем точку x , удовлетворяющее начальным условиям

Заметим, что единственность решения задачи Коши для уравнения n -го порядка (n 1) не означает, что через данную точку (x0 , y0 ) плоскости ХОУ проходит только одна интегральная кривая y =ϕ(x) , как это имело место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Например, для уравнения второго порядка с начальными условиями единственность решения задачи Коши нужно понимать в том смыс-

37

ле, что через точку (x0 , y0 ) плоскости ХОУ проходит единственная интегральная кривая уравнения, касательная к которой в этой точке имеет угловой коэффициент y0′. Через ту же точку (x0 , y0 ) проходит еще бесчисленное множество

интегральных кривых уравнения с другим наклоном касательной в этой точке. Теорию дифференциальных уравнений высших порядков рассмотрим, ог-

раничившись для краткости изучением дифференциальных уравнений второго порядка как наиболее часто встречающихся в инженерных расчетах.

Лекция 6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, y, y′. Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать y′′.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

Для его решения возьмем обозначение y′ = v(x). Тогда y′′ = v′, и уравнение (9.3) примет вид v′ = 2. Отсюда следует, что v = 2x +C1 или y′ = 2x +C1. Интегрируя еще раз, найдем y = x2 +C1x +C2.

Полученное решение зависит от двух произвольных постоянных (общее решение). Геометрически это решение представляет множество парабол (интегральных кривых), причем через каждую точку плоскости, очевидно, проходит бесконечное множество парабол, имеющих в этой точке различные касательные (рис 9).

38

некоторой области G изменения переменных x, y, y′. Тогда какова бы ни была внутренняя точка (x0 , y0 , y0′ ) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y =ϕ(x) , удовлетворяющее начальным условиям

щего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения второго порядка y′′ = f (x, y, y′), правая часть которого удовлетворяет условиям

теоремы Коши в некоторой области G изменения переменных x, y, y′.

О п р е д е л е н и е . Функция y =ϕ(x,C1,C2 ), зависящая от аргумента x и двух произвольных постоянных C1 и C2 , называется общим решением уравнения (9.2) в области G , если она удовлетворяет двум условиям:

1.При любых значениях произвольных постоянныхC1 и C2 функция y =ϕ (x, C1, C2 )является решением уравнения (9.2);

2.Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных C10 и C20 , такие, что функция y =ϕ(x1,C10 ,C20 ) является решением уравнения (9.2) и удовлетворяет начальным условиям (9.4).

З а м е ч а н и е 1. Значения постоянных C10 ,C20 находятся из системы

уравнений

y0 =ϕ(x0 ,C10 ,C20 ), y0′ =ϕ′(x0 ,C10 ,C20 ).

За м е ч а н и е 2. При задании начальных условий (9.4) необходимо, чтобы значения переменных x0 , y0 , y0′ принадлежали области G.

За м е ч а н и е 3. Если общее решение дифференциального уравнения второго порядка получено в виде, не разрешенном относительно искомой

функции Φ(x, y,C1,C2 ) = 0, то это соотношение называют общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Определение . Всякое решение y =ϕ(x1,C10 ,C20 ) уравнения (9.2), получающееся из общего решения y =ϕ(x,C1,C2 ) при конкретных значениях постоянных C1 = C10 , C2 = C20 , называется частным решением.

40