Учебники 8075

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

arctg (x 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

435.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Решение системы уравнений
x	x	1;	y	y	0;	z	z	2.

2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде

где				AX B,
где
1		4	2		x	3
		1	1
A 3		1	1	,	X y ,	B 5	.
	3	5	6
	3	5	6		z	9

Решение матричного уравнения имеет вид

X A 1 B,

где A 1 – матрица, обратная к матрице А. Заметим, что поскольку определитель матрицы А не равен нулю ( 49, см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно, имеет обратную.

Обратная матрица находится по формуле

				A	A	A
	1	1		11	21	31
A			A12		A22	A32	,
A			A12		A22	A32	,
				A	A	A
				A	A	A
				13	23	33

где – определитель матрицы А, Aij – алгебраическое

дополнение элемента aij определителя матрицы А. Вычислим

алгебраические дополнения:
A11	1 1		1		1	1;		A21 ( 1)		2 1	4		2	14;
	1 1		1		1					2 1	4		2
	( 1)		5		6						5		6
			5		6						5		6
A31	( 1)	3 1		4	2		2;	A12		1 2		3 1			21;
		3 1		4	2					1 2		3 1
				1	1				( 1)			3 6
				1	1							3 6

A ( 1)2 2					1		2		0;					A			( 1)3 2					1			2	7;
22						3	6								32								3		1
						3	6																3		1
A13	1 3		3 1					18;						A23				( 1)			2 3		1		4	7;
	1 3		3 1																		2 3		1		4
	( 1)		3				5																	3	5
			3				5																	3	5
A	( 1)3 3			1			4		13.
A	( 1)3 3			1			4		13.
33				3			1
				3			1
Таким образом,
													1			14				2
					A 1					1
										1		21					0			7 ,
												21					0			7 ,
										49			18			7				13
													18			7				13
откуда
											1					14			2 3
	X A 1B								1
									1		21					0			7 5
											21					0			7 5
								49					18			7
													18			7			13				9
							3 70 18												49						1
		1																1
		1					63 0 63											1		0					0 .
							63 0 63													0					0 .
	49																49
	49						54 35 117										49			98
							54 35 117													98					2
	Следовательно, x 1,												y	0,			z 2.

Задача №6

Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:


а)	lim	5x4 1		;	б)	lim	1 x x2 1 x x	2	;
		4 2x3 1					x2 x
	x x					x 0
в)	lim	tg 2x	;		г)	lim	(5 2x)2/(x 2).

	x 0	x				x 2

Решение.

а)

lim

5x4 1

x x4 2x3 1

И числитель, и знаменатель дроби при x стремятся к

бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида

. Разделив

числитель и знаменатель на x4, получим

(5 1/x4)

5x4 1

5 1/x4

lim

x x

4 2x3 1

x 1 2/x 1/x4

lim (1 2/x 1/x4)

lim (1/ x4)

lim

5 0

lim 1

lim (2/ x) lim (1/ x

)

1 0 0

б)

lim

1 x x2

1 x x

;

x2 x

x 0

И числитель, и знаменатель дроби при x 0 стремятся к нулю. Имеем неопределенность вида 00 . Умножим числитель

и знаменатель на выражение 1 x x2 1 x x2 . Получим

1 x x2 1 x x2

lim

x 0

x2 x

(

) (

)

lim

1 x x2

1 x x

1 x x2

1 x x

(x2 x) ( 1 x x2 1 x x2 )

x 0

lim

1 x x2 1 x x2

x 0(x2 x) ( 1 x x2 1 x x2 )

lim

2x 2x

x 0(x2 x) ( 1 x x2 1 x x2 )

lim

2(1 x)

x 0(x 1) ( 1 x x2 1 x x2)

lim 2(1 x)

2 1

x 0

( 1) 2

lim

(x 1) (

1 x

1 x x

)

x 0

в)

lim

tg 2x

;

x 0

Имеем неопределенность вида 0

. Воспользуемся первым

замечательным пределом lim

sin x

1. Получим

tg 2x

x 0

sin 2x

lim

tg 2x

lim

x 0

x 0 x

x 0 x cos 2x

lim

sin 2x

lim

2sin 2x

1 2 2.

x 0cos 2x x

x 0cos 2x

x 0

г)

lim

(5 2x)2/(x 2);

x 2


Имеем	неопределенность		вида			1 . Воспользуемся
вторым замечательным пределом			lim			(1 x)1/ x e .
			x 0				y 4 2x,
Введем в рассмотрение новую переменную
y 0 при	x 2. Тогда	x 2		y	.	Переходя	к новой

			2

переменной, получим

	2					2
	2			lim (1 y)(2 y/2) 2
lim (5 2x)		x 2		lim (1 y)(2 y/2) 2
x 2			y 0
			1	4
				4
lim	(1 y)		y			(1
lim	(1 y)				lim	(1
y 0					y 0

			4
lim			y
lim		(1 y)	y
	y 0
	1 4	e 4.
y)	y	e 4.

Задача №7

Исследовать функцию f (x) на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

2x	,	x 1;
		1 x 2;
3 x,
	1
f (x)			, 2 x 5;

		2
(x 2)
		x 5.
x 8,

Решение.	На	промежутке	( ;1) функция	f (x)
совпадает с функцией		(x) 2x.	Это элементарная функция.

Указанный промежуток входит в область определения функции(x). Значит на промежутке ( ;1) функция (x)

непрерывна, а, следовательно, на этом промежутке непрерывна и функция f (x). Аналогично устанавливается непрерывность функции f (x) на промежутках (1; 2), (2; 5) и (5; + ∞).

Исследуем функцию f (x) на непрерывность в точках

x 1,	x 2		и x 5. Функция определена в этих точках:
f (1) 2,		f (2) 1,		f (5)		1	.	Вычислим односторонние

					9
пределы в этих точках.
f (1 0)			lim	f (x)	lim			2x 2,
			x 1 0	x 1 0
f (1 0)			lim	f (x)	lim			(3 x)	2.
			x 1 0	x 1 0
Таким образом,				f (1 0)	f (1 0) f (1). Следовательно,
в точке	x 1	функция		f (x) непрерывна.
f (2 0)			lim	f (x)		lim		(3 x)	1,
			x 2 0		x 2 0
f (2 0)			lim	f (x)		lim		1		.

			x 2 0		x 2 0 (x 2)2

Так как один из односторонних пределов равен + ∞, то точка x 2 является точкой разрыва второго рода.

f (5 0)	lim	f (x)	lim	1			1	,
					2
	x 5 0		x 5 0 (x 2)			9

f (5 0)	lim	f (x)	lim	(x 8)	3.
	x 5 0		x 5 0

В точке x 5 односторонние пределы конечны, но не равны между собой. Следовательно, точка x 5 является точкой разрыва первого рода.

Сделаем чертеж заданной функции f (x) (рис.2).

f (x)

-3

Рис. 2

Задача №8

Найти производные заданных функций.

а) y

x2 1

;

б)

y (e3x)

;

1 tg x

sin

x cos x

y ln3

;

y (x2

1)cos x;

в)

arctg (x 2x)

г)

xy sin(x y);

e t

д)

е)

;

t 1

Решение. а) y	x2	1
			.

sin x cos x

Применяя правило дифференцирования частного двух функций, получим

sin

x cos x

(sin x cosx) (x

1) (sin x cosx)

sin x cosx 2

2x (sinx cosx) (x2 1)(cosx sin x)

sinx cosx 2

б) y (e3x) 1 tg x ;

Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим:

)

1 tg x

)

) 1 tg x

1 tg x

e3x(3x)

(e3x)

(1 tg x)

1 tg x

2 1 tg x

3e3x

e3x

1 tg x

cos2 x

1 tg x

2cos

2 x (1 tg x)

y ln3

;

в)

arctg (x 2x)

Применяя

правило

дифференцирования

сложной

функции, получим

3ln2		ln	arctg (x 2x)
3ln2	arctg (x 2x)	ln	arctg (x 2x)

3ln2

arctg (x 2x)

3ln2

arctg (x 2x)

arctg (x 2

)

arctg (x 2

)

2 arctg (x 2

)

3ln2

arctg (x 2x)

(x 2x)

1 (x 2x)2

arctg (x 2x)

3ln2

1 2x ln2

arctg (x 2x)

1 (x 2x)2

arctg (x 2x)

3ln2

1 2x ln2

arctg (x 2x)

2 arctg (x 2x)

1 (x 2x)2

г) y (x2 1)cos x;

И основание, и показатель степени здесь зависят от x. Прологарифмируем равенство:

ln y ln (x2 1)cos x или

ln y cosx ln (x2 1).

Продифференцируем обе части последнего равенства по x, учитывая, что ln y есть сложная функция, так как y является функцией переменной x.

	y		(ln y) (cosx ln(x2 1)) ;
	y	(cosx) ln (x2 1) cosx (ln (x2 1))
		(cosx) ln (x2 1) cosx (ln (x2 1))
	y
		sin x ln (x2 1) cosx					2x		.
		sin x ln (x2 1) cosx							.
Следовательно,						x	2 1
Следовательно,
				2x			2
	y y			2x			2
	y y		cosx		sin x ln (x			1)
				x2 1

			2x
(x2 1)cosx cosx			2x	sin x ln	(x2 1)	.
(x2 1)cosx cosx				sin x ln	(x2 1)	.
		x	2 1
		x	2 1
д) xy sin (x y);
Напомним: если	функция			y y(x)	задана неявно
соотношением F(x, y) 0, то			производную			функции
соотношением F(x, y) 0, то			производную		y (x)	функции

y(x) можно найти из уравнения

d F(x, y) 0. dx

Перепишем выражение следующим образом:

xy sin (x y) 0.

Продифференцируем по x, учитывая, что y есть функция переменной x

(xy) (sin (x y)) (x) y x(y) cos (x y) (x y)y xy cos (x y) (1 y ) 0.

Выразим y

y xy cos (x y) y cos (x y) 0, xy y cos (x y) cos (x y) y , y (x cos (x y)) cos (x y) y.

Таким образом,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022422.05 Кб2Учебники 8070.pdf
#
01.05.2022423.89 Кб2Учебники 8071.pdf
#
01.05.2022428.37 Кб2Учебники 8072.pdf
#
01.05.2022430.26 Кб1Учебники 8073.pdf
#
01.05.2022433.35 Кб3Учебники 8074.pdf
#
01.05.2022435.86 Кб2Учебники 8075.pdf
#
01.05.2022438.38 Кб3Учебники 8076.pdf
#
01.05.2022441.5 Кб2Учебники 8077.pdf
#
01.05.2022447.97 Кб2Учебники 8078.pdf
#
01.05.2022452.18 Кб3Учебники 8079.pdf
#
01.05.2022272.81 Кб3Учебники 808.pdf