Учебники 8065
.pdflim |
lnb . |
b
Вданном случае интеграл расходится.
|
Задача №7 |
|
|
Вычислить площадь |
фигуры, |
ограниченной линиями |
|
y x 3 |
и y 6x x2 7. Сделать чертеж. |
||
Решение. Если фигура ограничена графиками функций |
|||
y1(x) |
и y2(x) y1(x) y2(x) |
и соответствующими |
|
отрезками прямых x a и |
x b, то ее площадь вычисляется |
||
по формуле |
|
|
b
S(y2(x) y1(x))dx. a
В нашем случае y1(x) x 3 и y2(x) 6x x2 7, a и b
– абсциссы точек пересечения указанных прямых (рис.2).
y
2
0 |
1 |
3 4 |
x |
-2
Рис. 2
39
Найдем эти значения.
|
|
|
|
|
|
|
6x x2 7 x 3, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 5x 4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 1, |
x2 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем площадь фигуры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
S |
|
(6x x |
7) (x 3) |
|
|
|
|
5x |
x |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №8 |
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями: |
||||
|
y |
|
, |
|
а) |
9 x2 |
0 x 3. |
||
б) |
x a(t sint), |
0 t 2 . |
||
|
||||
|
y a(1 cost), |
|
Решение. а) Длина дуги кривой, заданной уравнением
y f (x) при |
a x b, вычисляется по |
формуле |
|
b |
|
|
|
|
|
|
L1 y 2(x) dx. a
В рассматриваемом случае 1 y |
2 |
(x) |
9 |
. Поэтому |
|||||||||||||
9 x2 |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
3 |
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
3arcsin |
|
|
|
|
3(arcsin1 arcsin0) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
0 |
|
9 x |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Если линия задана параметрическими уравнениями
40
x x(t), |
t , |
то длина |
L |
|
|
дуги этой линии |
|||
|
|
|
|||||||
y y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляется по формуле |
L |
x |
2 |
(t) y |
|
2 |
(t) dt. |
||
|
|
|
Врассматриваемом случае
x2(t) y 2(t) a2(1 cost)2 a2 sin2 t
a2(1 2cost cos2 t sin2 t) a2(2 2cost) 2a2(1 cost).
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
2a |
|
|
(1 cost)dt |
2a |
2sin |
|
|
dt 2a sin |
|
dt |
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
4acos |
t |
|
2 4a cos cos0 4a( 1 1) 8a. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №9
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями
y 1 |
1 |
, |
y 0, |
x 1, |
x 3. Сделать чертеж. |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
Решение. Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиком функции y y(x), отрезками прямых x a и x b и отрезком оси Ox , равен
b
V y2(x) dx .
a
Изобразим указанную в условии задачи фигуру (рис.3). По формуле находим:
41
3 |
|
1 2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|||||
V |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
dx |
|||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 2ln x |
|
|
|
|
|
2ln3 . |
||||||||||
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y
0 |
1 |
3 |
x |
|
|
|
Рис. 3
42
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных простейших элементарных функций.
I.(С) = 0.
II.(x ) x 1,в частности |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
( |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
2 |
|
x |
||||||||||
III. |
(logа х) = |
1 |
|
logа е, |
|
|
в частности |
(ln х) |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
IV. |
|
(ax) ax lna, в частности, |
(ex) ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
V. |
|
(sin х) = cos х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
VI. |
|
(cos х) = sin х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
VII. |
|
(tgx) = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
VIII. (ctg x) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
IX. |
|
(arcsin х) = |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X. |
(arccos x) |
= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
XI. (arctg x) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
XII.(arcctg x) |
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
XIII. |
(sh х) = ch х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
XIV. |
(ch х) = sh х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
XV. (th x) = 1 .
ch2 x
XVI. (cth x) = 1 .
sh2 x
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица интегралов простейших элементарных функций
I. |
x dx |
|
x 1 |
C |
( 1). |
||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||
II. |
|
dx |
ln |
|
x |
|
C. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
III. |
|
|
|
dx |
|
arctgx C. |
|||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
IV. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
arcsin x C. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||
V. axdx |
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
||||||||
|
|
C |
(0 a 1). |
||||||||||||||
lna |
VI. exdx ex C.
VII. sin xdx cosx C.
VIII. cosxdx sin x C.
IX . cosdx2 x tgx C.
X. |
dx |
|
ctgx C. |
2 |
|
||
|
sin |
x |
44
XI. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
ln |
x a |
|
|
C |
a 0 . |
||||||||||
|
x |
2 a2 |
2a |
x a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
XII. |
|
|
|
|
|
|
dx |
ln |
x |
|
x2 k |
C. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 k |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
XIII. |
|
|
|
|
dx |
|
1 |
arctg |
x |
C. |
|
||||||||||||||||||
|
x2 a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|||||||||||||||||
XIV. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
arcsin |
x |
C. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 1985. Т.1.
2.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и
задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. -
М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1.
3.Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / А.П. Рябушко. - Минск: Вышэйш. шк., 1990. Ч.1.
4.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике / И.А. Каплан. – Харьков: ХГУ, 1973. Ч. 1, 2.
5.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике
/Л.А. Кузнецов - М.: Высш. шк., 1994. 172 с.
45
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
||
1. |
Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению |
|
||
|
курса математики . . . |
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
|
2. |
Правила выполнения и оформления контрольных работ |
3 |
||
3. |
Программа курса “Математика” для студентов- |
3 |
||
|
заочников инженерно-технических специальностей. . . . |
|||
4. |
Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 2 |
|
||
|
(второй семестр) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
||
5. |
Контрольная работа |
№ 2. . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
6. |
Примеры решения задач к контрольной работе № 2 . . . |
23 |
||
|
Приложение 1 . . . . . . |
. . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
Приложение 2 . . . . . . |
. . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
|
Библиографический |
список . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
46
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности
24.05.07 “Самолето- и вертолетостроение” заочной формы обучения
Составители: Бырдин Аркадий Петрович Иохвидов Евгений Иосифович Розаренов Георгий Сергеевич
Сидоренко Александр Алексеевич
В авторской редакции
Компьютерный набор А.А. Сидоренко
Подписано в печать 24.03.2017.
Формат 60 84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 3,1. Уч.-изд. л. 2,9. Тираж 30 экз. “C” 7.
Зак. №
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
394026 Воронеж, Московский просп., 14