5.2. Сети одномерных конечных элементов

На рис. 5.2 приведены примеры из различных предметных областей с одинаковой топологией с точки зрения теории графов, имеющие одинаковый принцип построения математической мо­дели на основе МКЭ.

На рис. 5.2, а показана электрическая схема из семи резисто­ров. Источники питания на схеме не показаны, но их влияние характеризуется токами

Если резистор рассмотреть изолированно от системы, то с помощью закона Ома можно записать соотношение между исходящими токами и напряжениями на его концах:

(5.11)

или в матричной форме

(5.12)

(5.12 а)

Узлы сети и ее элементы можно нумеровать произвольно, однако при выделении каждого элемента условимся под индек­сом i всегда понимать меньший номер. Нетрудно видеть, что поэтому силу тока в узле i можно определять по формуле

(5.13)

а если рассматривается узел , то правую часть формулы (5.13) следует умножить на -1.

Рис. 5.2. Сети одномерных конечных элементов:

а) электрическая; б) механическая; в) гидравлическая

При составлении ансамбля конечных элементов запишем уравнения «равновесия» (закон Кирхгофа) поочередно для каждого узла. Для формализации процедуры будем рассматривать все элементы сети независимо от того, примыкают они к данному узлу или нет. Если элемент примыкает к рассматриваемому узлу своим началом, будем принимать равенство (5.13) со своим знаком, т. е. умножать его на 1. Если это окажется конец элемен­та, то будем вводить множитель – 1. Если элемент не примыкает к узлу, то принимать множитель 0. С целью сокращения записей условимся матрицу жесткости обозначать буквой К, снабженной индексом, указывающим номер элемента. Для первого узла (рис. 5.2, а) будем иметь:

для второго узла

Поступая аналогично с остальными узлами, можем записать математическую модель электрической системы:

(5.14)

При рассмотрении элементов анализа сетей было дано определение и указан прием построения матрицы инциденций ориентированного графа. Здесь мы получили такую матрицу, занумерованные узлы и элементы сети.

Перейдем к рассмотрению механической системы (рис. 5.2, 6) в виде фермы, загруженной силой Р. Предварительно отметим существенное отличие этой системы от ранее рассмотренной. В электрической системе сила тока есть скалярная величина, поэтому не имеет значения пространственное расположение рези­сторов, важен лишь факт их примыкания к данному узлу. Для фермы все иначе: здесь имеет значение не только топология, но и геометрия фермы, а также ориентация внешних сил и реакций связей. Для плоской фермы с шарнирными узлами каждый узел имеет две степени свободы, что определяет 10 степеней свободы для всей совокупности узлов. Однако внешние связи исключают две степени свободы в первом узле и по одной (в вертикальном направлении) – в 4 и 5 узлах. Для учета этого обстоятельства необходимо вычеркнуть соответствующие строки матрицы S, характеризующей степени свободы системы (две строки для пер­вого узла и вторые строки – для 4 и 5 узлов):

(5.15)

При рассмотрении конечного элемента для электрической си­стемы основным параметром, определяющим связь между фазо­выми переменными I и U, было электрическое сопротивление резистора r, а сама связь устанавливалась законом Ома.

В случае фермы фазовыми переменными будут усилия в стер­жнях N и удлинения стержней , параметром – погонная жест­кость , а связь переменных состояния определится законом Гука