3. Интервальные оценки
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.
1. Интервальной
оценкой с надежностью
математического
ожидания а нормально распределенного
количественного признака по выборочной
средней 
при известном среднем квадратическом
отклонении σ генеральной совокупности
служит доверительный интервал
,
Где
=δ
– точность оценки, n -
объем выборки, t – значение
аргумента функции Лапласа Ф(t)
при котором Ф(t)=γ/2.
2. При неизвестном σ (и объеме выборки n<30)
,
где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице квантилей распределения Стьюдента по заданным n и γ.
Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратичное отклонение σ = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.
Решение. Требуется найти доверительный интервал
,
Все
величины, кроме t, известны.
Найдем t из соотношения
Ф(t) = 0,95/2=0,475. По таблице
находим t = 1,96. Подставив
t = 1,96,
= 14, σ = 5, n =
25, окончательно получим искомый
доверительный интервал 12,04 < a
< 15,96.
Пример 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10, представленная в табл. 12.
Таблица 12
-
варианта xi
-2
1
2
3
4
5
частота ni
2
1
2
2
2
1
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратичное отклонение найдем соответственно по формулам:
,
.
Подставив в эти формулы данные задачи, получим = 2, s = 2,4. Найдем tγ. Пользуясь таблицей, по γ = 0,95 и n = 10 находим tγ = 2,26. Найдем искомый доверительный интервал:
.
Подставляя в эти формулы данные задачи, получим = 2, tγ = 2,26, s = 2,4, n= 10, получим искомый доверительный интервал 0,3< a < 3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.
3. Пусть известно, что контролируемое напряжение в задаче 10 параграфа 1 распределено по нормальному закону. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a.
Библиографический список
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е.Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.
2. Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятностей и математическая статистика / под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990. Т. 3. 432 с..
3. Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика/ А.М.Андронов, Е.А. Копытов, Гринглаз Л.Я. Питер, 2004. 460 с.
Приложение 1
Таблица 1
Вариант |
Исходные данные |
|||||||||
1 |
3.3 |
7.9 |
9.8 |
8.2 |
7.0 |
7.6 |
4.5 |
3.0 |
9.5 |
0.9 |
2 |
4.5 |
9.8 |
2.6 |
4.3 |
8.7 |
8.0 |
3.8 |
7.8 |
9.4 |
7.7 |
3 |
7.7 |
3.4 |
0.7 |
3.3 |
8.9 |
9.7 |
8.2 |
7.6 |
7.6 |
4.5 |
4 |
3.0 |
9.3 |
0.8 |
5.3 |
9.9 |
2.0 |
4.1 |
8.6 |
8.0 |
3.8 |
5 |
7.8 |
9.4 |
7.2 |
7.2 |
3.4 |
0.7 |
3.6 |
7.9 |
9.8 |
8.2 |
6 |
7.6 |
7.7 |
4.6 |
3.0 |
9.3 |
0.7 |
4.3 |
9.8 |
2.5 |
4.4 |
7 |
8.7 |
8.2 |
3.8 |
7.8 |
9.4 |
7.6 |
7.2 |
3.4 |
0.7 |
0.8 |
8 |
7.9 |
9.8 |
8.0 |
7.6 |
7.5 |
4.6 |
3.0 |
9.3 |
0.8 |
4.3 |
9 |
9.8 |
2.6 |
4.5 |
8.7 |
8.0 |
4.8 |
7.8 |
9.4 |
7.7 |
7.2 |
10 |
3.4 |
6.7 |
0.3 |
7.9 |
9.7 |
8.4 |
5.3 |
7.6 |
4.5 |
3.1 |
11 |
9.3 |
0.9 |
5.3 |
9.8 |
2.8 |
4.1 |
8.8 |
8.0 |
3.7 |
7.9 |
12 |
9.4 |
7.5 |
7.2 |
3.4 |
0.7 |
3.6 |
7.9 |
9.1 |
8.2 |
7.6 |
13 |
7.8 |
4.5 |
3.0 |
9.3 |
0.9 |
4.5 |
9.2 |
2.6 |
4.1 |
8.7 |
14 |
8.0 |
3.0 |
7.8 |
3.4 |
7.6 |
6.2 |
4.1 |
0.7 |
3.3 |
7.9 |
15 |
9.8 |
8.4 |
7.5 |
6.6 |
4.5 |
3.0 |
9.3 |
0.9 |
4.5 |
9.2 |
16 |
2.8 |
4.1 |
8.7 |
8.0 |
3.6 |
7.8 |
9.4 |
7.7 |
7.2 |
3.4 |
17 |
0.7 |
3.2 |
0.6 |
9.8 |
8.2 |
7.8 |
6.5 |
4.4 |
3.0 |
9.3 |
18 |
0.9 |
4.5 |
9.8 |
2.6 |
4.1 |
8.7 |
8.0 |
6.8 |
7.8 |
9.4 |
19 |
7.7 |
7.0 |
3.4 |
0.7 |
3.3 |
7.9 |
9.9 |
8.4 |
7.5 |
6.7 |
20 |
4.6 |
3.0 |
9.3 |
0.9 |
4.3 |
9.8 |
2.0 |
4.1 |
8.7 |
8.2 |
21 |
3.8 |
7.7 |
9.4 |
7.7 |
6.2 |
3.4 |
0.7 |
3.3 |
7.9 |
9.1 |
22 |
8.2 |
7.6 |
7.2 |
4.8 |
3.1 |
9.2 |
0.5 |
5.3 |
9.0 |
2.6 |
23 |
4.1 |
7.7 |
8.0 |
3.8 |
7.8 |
9.4 |
6.7 |
7.2 |
3.4 |
0.6 |
24 |
3.3 |
7.9 |
9.2 |
7.2 |
7.6 |
6.5 |
3.8 |
3.1 |
9.3 |
7.9 |
25 |
4.6 |
9.8 |
2.6 |
4.7 |
8.7 |
8.0 |
3.8 |
7.8 |
9.4 |
0.7 |
Таблица 2
-
Вариант
Исходные данные
1
18.88
19.33
19.01
17.81
15.95
18.75
19.20
14.38
18.70
18.58
15.82
19.42
10.56
10.60
17.75
11.46
11.11
16.15
12.05
15.73
2
15.58
18.56
12.64
11.75
12.64
14.21
16.23
12.23
18.03
17.38
15.33
18.31
19.91
11.95
13.78
17.25
16.31
16.77
18.58
17.82
3
18.77
19.34
10.19
19.81
15.77
18.27
10.90
16.88
17.17
17.77
13.98
17.98
19.81
10.01
10.09
10.51
16.28
18.20
14.31
15.08
4
11.75
18.18
14.28
14.28
13.75
14.46
17.88
17.77
15.03
19.98
10.04
15.90
18.81
15.07
16.31
17.76
17.17
17.82
13.38
17.57
5
17.27
12.71
10.20
19.17
15.11
10.58
15.26
19.73
19.65
16.75
19.00
15.64
11.28
17.05
17.03
18.08
13.75
19.33
19.01
19.68
6
14.75
13.14
12.98
18.77
17.86
19.33
19.99
19.31
10.55
18.70
18.51
14.13
18.18
17.07
19.72
13.33
17.98
11.61
11.12
14.64
7
14.21
17.17
16.54
17.77
10.75
18.56
18.08
13.28
14.06
12.75
13.38
13.08
16.77
15.88
19.37
12.51
19.92
11.12
17.21
18.19
8
12.31
17.57
17.88
13.82
19.60
19.82
14.60
17.50
18.27
14.11
17.27
17.56
16.73
13.88
17.56
18.18
10.15
16.40
13.25
13.22
9
11.03
13.73
12.58
11.33
15.00
12.75
10.93
13.70
19.28
14.31
17.77
17.88
19.52
19.45
19.91
12.76
13.77
18.01
14.11
17.17
10
17.04
19.82
19.45
17.09
12.56
17.13
14.96
15.11
17.17
17.03
17.73
13.98
11.33
18.00
10.12
10.85
18.75
13.28
14.31
12.77
11
11.23
11.74
13.45
17.97
16.80
12.26
17.60
11.70
11.01
10.71
17.99
14.71
11.92
11.69
13.01
16.75
16.68
15.26
17.89
13.90
12
15.87
13.48
11.77
16.38
15.43
14.96
12.90
11.11
18.88
18.51
14.75
14.30
15.40
10.06
11.68
13.50
19.47
10.68
19.31
15.20
13
15.97
16.54
14.87
13.54
17.50
10.48
19.11
11.41
11.17
11.01
11.33
14.02
19.18
15.11
17.42
15.71
11.28
14.00
13.59
16.46
14
14.88
18.33
17.17
19.15
18.73
13.38
15.00
18.00
10.75
13.97
13.75
13.20
16.11
17.77
17.88
17.25
19.40
19.01
12.41
17.71
15
17.20
14.31
17.77
17.58
19.82
19.40
17.56
12.60
17.70
14.46
14.11
17.17
13.33
18.73
13.38
19.33
18.00
10.15
10.91
13.75
16
13.28
13.03
18.73
17.78
19.33
16.00
19.81
10.90
13.75
18.20
14.31
17.77
17.58
19.82
19.45
17.56
12.61
17.72
14.46
14.10
17
17.17
17.58
12.82
13.38
17.56
12.60
10.75
14.46
14.11
13.27
13.01
18.73
17.88
19.36
17.92
19.81
10.94
13.75
18.20
14.31
18
17.77
17.88
18.33
19.35
19.81
11.90
17.70
18.22
14.31
17.17
17.52
19.82
13.38
17.56
12.70
10.70
14.30
14.40
13.28
13.03
19
18.73
15.30
17.56
17.00
12.75
14.46
14.75
13.28
13.33
16.77
17.88
18.33
18.40
19.91
12.91
17.70
17.20
14.31
16.17
17.58
20
15.82
19.40
19.81
16.60
17.17
18.10
16.11
16.17
16.35
17.73
13.38
17.56
18.18
10.85
15.46
13.75
12.00
12.03
17.17
17.00
21
19.33
18.00
10.75
11.99
13.35
13.20
14.31
17.77
15.88
17.82
17.70
19.81
12.60
19.40
11.30
14.11
17.70
17.58
14.11
13.88
22
17.65
12.06
17.07
14.64
14.11
17.71
13.30
17.37
12.38
19.33
18.00
10.05
10.09
13.57
13.28
14.13
17.77
17.88
19.38
19.04
23
18.81
14.90
13.75
18.20
15.31
16.77
17.58
15.82
18.45
17.65
12.06
16.70
13.06
14.51
17.28
13.03
19.73
13.33
18.33
18.00
24
10.05
14.46
11.41
12.38
13.13
11.73
17.88
13.03
18.02
18.91
19.00
13.05
12.80
13.41
17.77
15.78
18.82
19.45
15.76
12.60
25
15.70
18.18
14.31
15.17
17.17
18.72
13.38
17.56
15.60
10.75
16.44
14.11
16.28
13.01
18.23
17.88
19.02
18.88
16.81
10.99
Таблица 3
Вариант |
Исходные данные |
||||
1 |
207 – 212 2 |
212 – 217 0 |
217 – 222 7 |
222 – 227 8 |
227 – 232 8 |
2 |
205 – 210 2 |
210 – 215 8 |
215 – 220 5 |
220 – 225 5 |
225 – 230 5 |
3 |
208 – 213 2 |
213 – 218 7 |
218 – 223 5 |
223 – 228 5 |
228 – 232 6 |
4 |
200 – 205 6 |
205 – 210 6 |
210 – 215 9 |
215 – 220 2 |
220 – 225 2 |
5 |
205 – 210 6 |
210 – 215 8 |
215 – 220 1 |
220 – 225 4 |
225 – 230 6 |
6 |
202 – 207 6 |
207 – 212 4 |
212 – 217 1 |
217 – 222 7 |
222 – 227 7 |
7 |
209 – 214 7 |
214 – 219 3 |
219 – 224 9 |
224 – 229 3 |
229 – 234 3 |
8 |
204 – 209 6 |
209 – 214 7 |
214 – 219 3 |
219 – 224 4 |
224 – 229 5 |
9 |
200 – 205 1 |
205 – 210 8 |
210 – 215 5 |
215 – 220 5 |
220 – 225 6 |
10 |
205 – 210 7 |
210 – 215 4 |
215 – 220 4 |
220 – 225 5 |
225 – 230 5 |
11 |
206 – 211 3 |
211 – 216 1 |
216 – 221 4 |
221 – 226 8 |
226 – 231 9 |
12 |
209 – 214 6 |
214 – 219 5 |
219 – 224 9 |
224 – 229 2 |
229 – 234 3 |
13 |
203 – 208 5 |
208 – 213 3 |
213 – 218 4 |
218 – 223 6 |
223 – 228 7 |
14 |
204 – 209 5 |
209 – 214 1 |
214 – 219 1 |
219 – 224 8 |
224 – 229 10 |
15 |
207 – 212 9 |
212 – 217 1 |
217 – 222 4 |
222 – 227 5 |
227 – 232 6 |
16 |
203 – 208 7 |
208 – 213 6 |
213 – 218 2 |
218 – 223 5 |
223 – 228 5 |
17 |
206 – 211 7 |
211 – 216 0 |
216 – 221 5 |
221 – 226 6 |
226 – 231 7 |
18 |
207 – 212 4 |
212 – 217 1 |
217 – 222 9 |
222 – 227 5 |
227 – 232 6 |
19 |
203 – 208 7 |
208 – 213 2 |
213 – 218 5 |
218 – 223 6 |
223 – 228 5 |
20 |
201 – 206 8 |
206 – 211 3 |
211 – 216 0 |
216 – 221 7 |
221 – 226 7 |
21 |
208 – 213 6 |
213 – 218 8 |
218 – 223 7 |
223 – 228 2 |
228 – 233 2 |
22 |
204 – 209 5 |
209 – 214 4 |
214 – 219 6 |
219 – 224 5 |
224 – 229 5 |
23 |
207 – 212 5 |
212 – 217 7 |
217 – 222 7 |
222 – 227 3 |
227 – 232 3 |
24 |
204 – 209 7 |
209 – 214 9 |
214 – 219 4 |
219 – 224 2 |
224 – 229 3 |
25 |
206 – 211 2 |
211 – 216 7 |
216 – 221 7 |
221 – 226 4 |
226 – 231 5 |
Приложение 2
Таблица 1
-
Вариант
Исходные данные
1
x
y
70
77
58
57
77
74
58
59
71
73
53
58
73
79
57
51
70
70
51
50
72
71
57
52
77
78
59
53
79
72
53
59
78
78
51
59
72
78
51
54
2
x
y
71
79
59
52
73
78
59
59
76
71
52
50
79
77
54
57
76
74
58
50
76
73
53
58
73
79
57
54
70
74
59
55
72
74
51
54
77
78
57
55
3
x
y
71
70
55
59
74
70
50
57
78
77
54
57
71
71
59
53
77
79
53
50
73
77
55
57
79
75
53
53
73
74
58
55
74
73
53
58
73
79
57
59
4
x
y
70
70
57
54
74
73
51
58
79
71
52
53
72
70
54
55
74
74
53
56
79
77
59
57
79
79
50
57
73
78
54
59
77
77
55
50
78
77
56
53
5
x
y
71
76
54
53
70
79
53
57
77
73
59
59
78
71
50
53
74
76
54
56
75
74
55
56
74
71
51
50
78
71
52
53
77
78
54
57
71
72
58
55
6
x
y
71
70
59
50
79
73
51
53
72
75
55
59
71
74
53
57
75
77
55
52
75
79
54
55
73
78
59
51
77
77
52
53
79
77
54
54
77
74
50
58
7
x
y
73
77
55
54
73
72
57
58
70
71
55
50
79
77
54
55
74
70
53
57
72
70
51
59
74
79
50
57
75
77
50
57
76
79
59
53
73
78
52
56
8
x
y
76
78
53
54
76
78
57
59
74
71
59
52
73
77
58
54
77
76
51
58
70
77
51
55
74
77
54
53
79
70
53
55
72
71
59
59
74
73
51
57
9
x
y
70
79
55
51
78
72
53
59
70
70
55
50
79
78
53
54
77
70
57
59
74
73
59
50
76
77
56
56
76
79
58
55
71
71
57
54
74
75
54
55
10
x
y
71
75
56
57
72
71
56
54
70
74
59
57
73
74
57
57
79
72
53
51
77
74
50
50
74
73
51
54
77
78
57
59
75
78
59
52
70
77
58
53
11
x
y
70
73
56
58
77
75
51
55
79
71
59
53
75
74
57
59
79
70
51
53
76
79
52
55
76
75
55
51
71
71
55
54
73
74
56
50
79
78
52
59
12
x
y
74
76
55
51
71
77
51
59
70
71
54
55
75
71
58
53
73
75
54
56
79
71
51
57
71
76
50
51
79
74
55
51
75
70
53
55
73
71
59
51
13
x
y
74
78
56
53
77
78
54
58
74
78
50
57
74
73
51
52
79
77
54
59
75
79
57
58
73
71
50
51
76
77
54
53
78
73
59
57
72
70
55
59
14
x
y
73
74
57
54
72
79
58
53
79
72
53
59
78
74
50
50
77
78
53
54
77
73
57
59
74
78
59
52
73
77
58
54
79
79
57
58
70
77
52
51
15
x
y
77
73
53
58
73
79
57
52
70
70
59
57
73
74
57
54
77
79
57
53
79
72
53
59
78
74
50
50
71
78
53
54
72
72
54
59
74
73
59
52
16
x
y
77
77
54
53
79
71
58
57
78
74
58
59
73
73
53
58
70
79
57
57
73
70
59
57
71
74
57
54
79
79
57
53
78
72
53
59
70
74
50
50
17
x
y
78
79
54
50
78
70
59
53
73
78
52
50
77
77
54
53
79
77
58
57
77
74
58
59
77
73
53
58
73
70
57
57
70
72
59
57
77
71
57
54
18
x
y
79
78
53
57
73
70
59
59
74
73
50
57
78
77
54
50
78
79
59
53
73
78
52
50
77
71
54
53
79
71
58
58
77
72
53
57
77
74
58
59
19
x
y
79
79
57
58
70
77
57
58
75
77
54
53
79
73
53
57
72
70
59
59
74
73
50
57
78
78
51
50
78
79
59
53
73
78
52
57
77
71
54
58
20
x
y
77
71
57
59
74
73
59
52
73
77
58
54
79
79
57
50
70
77
57
58
74
70
54
53
79
71
53
57
72
70
51
59
71
73
50
57
78
77
54
57
21
x
y
79
72
53
59
78
74
50
50
77
78
52
50
77
78
57
58
74
73
59
51
77
73
58
55
79
79
57
55
70
71
51
58
74
72
54
53
79
73
53
57
22
x
y
70
70
59
57
73
74
51
54
77
79
55
53
72
72
53
59
79
74
55
50
71
78
51
54
78
78
57
59
74
78
59
52
73
72
58
54
79
73
52
50
23
x
y
77
74
52
59
78
73
52
51
73
79
57
54
70
70
59
57
78
74
53
54
77
79
58
53
79
72
53
59
78
74
50
50
71
78
58
54
71
78
57
59
24
x
y
70
78
50
50
73
77
53
52
77
77
54
59
79
74
59
57
70
70
52
55
71
79
57
55
73
70
59
56
70
74
57
54
75
79
57
53
75
72
50
59
25
x
y
74
73
50
57
71
77
54
51
71
79
59
53
73
78
52
50
77
77
54
50
76
77
58
52
75
71
50
57
77
73
53
52
73
76
55
58
71
70
55
50
Таблица 2
-
Вариант
Исходные данные
1
х 2 3 1 4
у -1 2 1 2
2
х -1 2 -1 1
у 2 1 1 3
3
х -2 1 3 1
у 1 2 0 1
4
х -3 2 1 1
у 1 -2 1 2
5
х -2 1 1 2
у 0 1 2 1
6
х -2 3 1 1
у 1 -3 2 1
7
х 2 1 -1 -2
у 0 -1 2 1
8
х 1 -2 1 -3
у 0 2 -1 1
9
ж -2 1 2 1
у -2 3 1 1
10
х 1 0 1 3
у 2 -1 1 2
11
х -1 1 2 1
у -2 1 1 2
12
х 1 -2 1 2
у 0 1 -1 3
13
х -1 3 2 1
у 0 2 4 1
14
х 2 1 3 1
у -2 0 3 1
15
х 1 2 -1 2
у 3 -1 0 2
16
х -2 3 1 0
у -2 1 3 1
17
х 2 -1 2 1
у -2 -1 2 0
18
х -3 1 2 1
у -1 2 1 0
19
х 2 1 3 2
у -3 -2 1 2
20
х -2 3 1 0
у -1 2 1 2
21
х 2 1 1 -1
у -2 3 1 0
22
х -1 2 1 2
у 2 1 -1 3
23
х -2 1 -1 2
у -2 3 1 2
24
х -2 1 3 1
у -2 1 3 1
25
х -2 3 1 0
у -3 2 1 2
СОДЕРЖАНИЕ
Графическое представление выборки. Статистические
оценки параметров распределения……………………….…1
2. Статистические оценки параметров распределения двумерного случайного вектора……………………………17
3. Интервальные оценки…………………………………….24
Библиографический список…………………………………26
Приложения…………………………………………………..27
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по дисциплине «Спецглавы математики», направление подготовки 120301.62 «Приборостроение», профиль «Приборостроение»
Составители
Кретова Лариса Дмитриевна
Ускова Наталья Борисовна
В авторской редакции
Подписано к изданию 10.06.15
Уч.-изд. л. 2,2.
ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный
технический университет"