8. Собственные функции и собственные значения операторов

Пользуясь правилом, изложенным в предыдущем разделе, можно вычислять не только средние значения, но и средние квадратичные отклонения от средних значений в данном состоянии . Действительно, вводя

и соответствующий эрмитов оператор

, (34)

можно написать

. (35)

Используя самосопряженность оператора , преобразуем (35) к виду

. (36)

Формула (36) позволяет вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения любой физической величины в произвольном состоянии, описываемом функцией .

С помощью (36) можно также определять неизвестные состояния, в которых среднее квадратичное отклонение равняется нулю, т. е. определять такие состояния, в которых величина имеет определенное значение. Для таких состояний равенство (36) сводится к равенству

.

Поскольку под интегралом стоит существенно положительная величина, то равенство нулю интеграла возможно лишь при условии

или

. (37)

Уравнение (37) является однородным, линейным уравнением относительно неизвестной функции . В связи с тем, что волновая функция должна изображать реальные состояния физических систем, нас будут интересовать решения этого уравнения, соответствующие отличным от нуля непрерывным, однозначным функциям , удовлетворяющим однородным условиям (т. е. условиям, выполняющимся и при ). Дополнительные условия, связанные с возможностью нормировки функции , обычно они сводятся к требованию конечности интеграла , распространенного по конечной области пространства. Сама функция может быть и сингулярной, т. е. обращаться в бесконечность в некоторых точках, если только интеграл остается конечным.

В общем случае уравнение (37) имеет решения, удовлетворяющие поставленным выше условиям только при некоторых определенных значениях физической величины , которые являются параметрами уравнения (37), Эти значения могут пробегать либо дискретный ряд значений, либо непрерывный ряд значений в некотором интервале.

Эти особые значения параметра называют собственными значениями оператора , а соответствующие им решения уравнения (37) называют собственными функциями оператора. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то говорят, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет собственные значения, пробегающие непрерывный ряд в некотором интервале, то говорят, что он имеет непрерывный, или сплошной, спектр. Возможны операторы, имеющие спектр, состоящий из дискретных значений и значений, непрерывно изменяющихся в некоторых интервалах.

Чтобы различать собственные функции оператора , соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать справа от функции в виде индекса собственное значение, например . Если спектр собственных значений оператора дискретный, то собственные значения можно перенумеровать: . В этом случае в качестве индекса у собственной функции часто пишут не собственное значение, а его номер, т. е. . Целые числа , определяющие собственные значения и собственные функции, называют квантовыми числами.

Согласно вышеизложенному, в состоянии, которое описывается собственной функцией оператора , физическая величина имеет определенное значение, равное собственному значению этого оператора. Этот вывод имеет очень большое значение для интерпретации физических следствий квантовой механики. Результатом измерения физической величины в состоянии будет с достоверностью значение . Если состояние системы описывается волновой функцией , не совпадающей ни с одной собственной функцией оператора , то при измерениях величины в этом состоянии мы будем получать разные значения, каждый раз равные одному из собственных значений оператора . Таким образом, совокупность собственных значений оператора указывает возможные результаты измерений величины в произвольных состояниях. Этими утверждениями определяется физический смысл собственных значений операторов квантовой механики.

В некоторых случаях одному собственному значению оператора соответствует несколько линейно независимых собственных функций; тогда соответствующая физическая величина имеет определенное значение в каждом из состояний, описываемых этими волновыми функциями. Число независимых собственных функций, соответствующих данному собственному значению, называют кратностью вырождения этого собственного значения.

При наличии вырождения собственные функции, соответствующие одному собственному значению, приходится снабжать вторым индексом, пробегающим значения 1, 2, ... вплоть до числа, равного кратности вырождения.

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то, что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны, то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (37).