2.2 Примеры решения задач

Задача 1. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления ( = 1,26) меньшим, чем у стекла. При какой наименьшей толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0,55 мкм, угол падения 30⁰.

Дано: = 0,55 мкм = 5,5∙10-7 м = 300 = 1,26	Рисунок 7
Найти:

Решение

Лучи 1 и 2 отражаются от среды с большим показателем преломления (см. рис. 7), поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны, и, следовательно, оптическая разность хода лучей равна

.

Отражения света от линзы не будет, если выполнится условие минимума освещенности при интерференции лучей 1 и 2 (условие минимума интерференции света):

или ,

где k = 0, 1, 2, … .

Толщина пленки будет минимальна при = 0. Отсюда

.

Подставляя числовые данные, найдем минимальную толщину пленки

м = 0,117 мкм.

Ответ: = 0,117 мкм.

Задача 2. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм. На экране, расположенном параллельно решетке и отстоящем от нее на расстоянии 0,5 м, наблюдается дифракционная картина. Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную дифракционной решетки и общее число максимумов, получаемых с помощью этой решетки.

Дано: = 0,65 мкм = 6,5∙10-7 м = 0,5 м = 0,1 м =1	Рисунок 8
Найти: ,

Решение

Картина распределения интенсивности света на экране при дифракции на решетке показана на рис. 8. Условие максимума интенсивности света на дифракционной решетке

, (1)

где – постоянная (период) решетки, – угол дифракции, – длина волны падающего света = 0, 1, 2, … – порядок максимума.

По условию задачи , поэтому

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

или . (3)

Вычислим постоянную решетки при = 1

м = 6,5 мкм.

Для определения общего количества максимумов, получаемых с помощью дифракционной решетки, найдем максимальный порядок дифракции. Максимальный угол отклонения лучей от нормального направления распространения не может превышать 90⁰, т.е. формула (1) примет вид

, откуда , (4)

тогда

.

Общее количество максимумов равно: , так как слева и справа от центрального ( = 0) будут наблюдаться по максимумов. Окончательно:

.

Ответ: = 6,5 мкм; = 21.

Задача 3. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в четыре раза? Поглощением света пренебречь.

Дано:
Найти:

Решение

При прохождении через поляризатор интенсивность естественного света уменьшается вдвое:

,

где – интенсивность естественного света, – интенсивность света, прошедшего через поляризатор.

При прохождении света через анализатор интенсивность света уменьшается по закону Малюса

,

где – интенсивность света, вышедшего из анализатора, – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.

По условию задачи , следовательно:

,

отсюда

и .

Ответ: .

Задача 4. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость поверхности тела.

Дано: = 0,58 мкм = 5,8∙10-7 м
Найти:

Решение

Энергетическая светимость абсолютно черного тела

,

где – абсолютная температура тела, – постоянная Стефана-Больцмана .

Температуру можно связать с длиной волны законом Вина:

, откуда ,

где – постоянная Вина . Следовательно,

.

Подставив числовые данные, получим:

 (Вт/м²) = 35,4 МВт/м².

Ответ: = 35,4 МВт/м².

Задача 5. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол (рис. 9). Энергия рассеянного фотона . Определить энергию фотона до рассеяния.

Дано: =0,4 МэВ	Рисунок 9
Найти:

Решение

Изменение длины волны фотона, рассеянного на свободном электроне, определяется формулой Комптона:

, (1)

где – длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабо связанным электроном, – длина волны фотона, рассеянного на угол после столкновения с электроном, – масса покоящегося электрона.

Учитывая, что и , выразим длины волн и через энергии и фотонов:

, или . (2)

Из (2) следует, что

или . (3)

Выразим из полученной формулы искомую величину:

. (4)

Подставим числовые данные, учитывая при этом, что 1 МэВ = 10⁶ эВ = 1,6·10^-19·10⁶ Дж = 1,6·10^-13 Дж:

(Дж) = 1,85 МэВ.

Ответ: = 1,85 МэВ.

Задача 6. При соударении - частицы с ядром произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический баланс.

Решение

Обозначим неизвестное ядро символом . Так как - частица представляет собой ядро гелия , то запись реакции имеет вид

.

Применяя законы сохранения числа нуклонов и заряда, получим уравнения

.

Отсюда и . Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода . Теперь можно записать ядерную реакцию в окончательном виде:

.

Энергетический баланс ядерной реакции определим по формуле:

.

Здесь – сумма масс исходных данных ядер, – сумма масс продуктов реакции.

При расчетах по этой формуле массы ядер можно заменить массами нейтральных атомов. Это возможно по следующей причине: число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу . Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода. Таким образом, при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут. Получим тот же результат, как если бы брали массы только ядер. Подставим массы атомов в формулу для и получим:

МэВ.

Получили , следовательно, энергетический баланс указанной ядерной реакции положителен, т.е. реакция проходит с выделением тепла.