Учебное пособие 800559

292. Докажите, что существует гомоморфизм группы S3 на группу G {1, 1}, . Найдите ядро гомоморфизма и фак-

торгруппу по ядру.

293. Пусть G1 ( , ) - аддитивная группа действительных чисел, G2 - мультипликативная группа, комплексных чисел, модуль которых равен единице. Докажите, что отображение : G1 G2 , определяемое формулой(x) cos 2 x i sin 2 x , есть гомоморфизм групп и найдите ядро этого гомоморфизма.

294.Докажите, что:

1)для любых элементов a , b мультипликативной группы G одинаковый порядок имеют элементы a и a 1 , ab и ba ;

2)сопряженные элементы группы a и b 1ab имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.

295.Докажите, что группа G порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней есть элемент порядка n .

296.Докажите:

298.Докажите, что если : G1 G2 - изоморфизм групп, то для любого элемента a G1 верно ord a ord (a) .

299.Опишите элементы конечных порядков в группах

61

301.Докажите, что любые два смежных класса (правых или левых) по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.

302.(Теорема Лагранжа) Докажите, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы.

303.Докажите, что подгруппа индекса 2 является нормальным делителем.

304.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.

КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ. ПОЛЯ

цом, идеалом кольца K M 2 ( ) ? В случае положительного ответа укажите единицу этого подкольца.

62

309. Покажите, что множества всех верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц, всех диагональных матриц, всех скалярных матриц (т.е. матриц вида E ) являются подкольцами кольца матриц Mn ( ) . Выясните, какие из них яв-

314. Выясните, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец. Для гомоморфизмов найдите ядро:

63

64

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

316. Выясните, является ли вещественным линейным пространством относительно сложения матриц и умножения матрицы на число:

317.Выясните, является ли вещественным линейным пространством:

1)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx ;

2)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx b , b 0 .

318.Является ли линейным пространством множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат: 1) в первой четверти; 2) в первой или третьей четверти?

319.Пусть L – это множество всех упорядоченных пар

положительных действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умноже-

ние на действительное число равенством x (x1 , x2 ) ? 320. Пусть L – это множество всех упорядоченных пар

действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное число равенством x ( x1, x2 ) ?

321. Может ли вещественное линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?

65

322.Из вещественного линейного пространства исключен вектор x . Может ли полученное после этого множество остаться линейным пространством?

323.Выясните, является ли вещественным линейным

x(7,14, 1, 2) ;

3)e1 (1, 2,3) , e2 ( 1, 4, 0) , e3 (1,0,0) , x (5, 2, 6) ;

4)e1 (0, 1, 4) , e2 (3, 0, 1) , e3 (2,1, 2) , x ( 1, 0, 5) ;

5) e1 (1,1,1,1) , e2 (1,1, 1, 1) , e3 (1, 1,1, 1) , e4 (1, 1, 1,1) ,

x(1, 2,1,1) .

325.Найдите координаты многочлена (1 x2 )(1 5x) в каноническом базисе пространства многочленов степени 4 .

степени 2 . Найдите координаты многочлена 2x2 x 1 в этом базисе.

327. Докажите, что система многочленов 1 x , x , x2 x ,

328. Укажите какой-либо базис пространства Mm n всех матриц размера m n . Докажите, что dim Mm n mn .

66

67

x(1, 2,1,1) .

334.Lокажите, что каждая из двух данных систем векто-

Найдите:

1)матрицу перехода от базиса f1,f2 ,f3 к базису g1, g2 , g3 ;

2)матрицу обратного перехода;

3)координаты векторов f1 и g3 в каждом из базисов;

4)координаты вектора x 2f1 3f2 f3 в базисе g1, g2 , g3 .

336.Как изменится матрица перехода от одного базаса к другому, если:

1)поменять местами два вектора первого базиса;

2)поменять местами два вектора второго базиса;

3)записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

337.Является ли подпространством множество всех векторов произвольного линейного пространства L , dim L n , координаты которых в фиксированном базисе удовлетворя-

68

338.Пусть L – множество векторов плоскости, выходящих из начала координат. Является ли подпространством множество всех векторов, концы которых лежат в первом и втором координатных углах?

339.Является ли подпространством множество всех матриц порядка n , удовлетворяющих условию:

2)a1 (1, 0, 0, 1) , a2 (2,1,1, 0) , a3 (1,1,1,1) , a4 (1, 2,3, 4) , a5 (0,1, 2,3) ;

3)a1 (1,1,1,1, 0) , a2 (1,1, 1, 1, 1) , a3 (2, 2,0,0, 1) ,

a4 (1,1, 5, 5, 2) , a5 (1, 1, 1,0,0) ;

4) a1 (2, 0,1,3, 1) , a2 (0, 2,1, 5, 3) , a3 (1,1,0, 1,1) , a4 (1, 3, 2,9, 5) .

341. Найдите базис и размерность подпространства линейного пространства многочленов степени 6 , натянутого

линейного пространства V . Докажите, что:

1)если L1 L2 , то dim L1 dim L2 , причем равенство имеет место только при L1 L2 ;

69

Выясните, какому из этих подпространств принадлежит век-

тор x (2, 0, 1) .

b1 (2,5, 6, 5) , b2 ( 1, 2, 7, 3) .

70