Учебное пособие 800477

Это отношение давлений называется критическим, оно соответствует критическому давлению на срезе сопла (давление может изменяться только до этого предела)

зависит только от физических свойств газа, точнее от его показателя адиабаты

будет минимальным, получим

91

Из приведенных формул следует, что параметры критического течения не являются постоянными величинами, а зависят от начального состояния газа. wкр представляет

собой максимальную скорость истечения газа через суживающееся сопло при определенных начальных параметрах газа и равна скорости звука в выходном сечении сопла, т.е. местной скорости звука. Этот термин объясняется тем, что скорость звука в газе будет различной для различных сечений сопла.

При этом каждому сечению сопла должна соответствовать своя местная скорость звука, определяемая величинами p и v в данном сечении. Для выходного сечения сопла,

когда w wкр a , давление на срезе сопла должно быть равно критическому. В

рассматриваемом случае скорость не может превысить критическую, которую нельзя увеличить ни при каком изменении перепада давления до и после сужения. Причем скорость газа, равная скорости звука, может иметь место только в минимальном (выходном) сечении сопла.

Используя формулы (5) и (6), получим

92

Очевидно, что при 1,G 0 , т.е. расход газа, равный нулю получается при p p1 . При понижении давления расход газа растет до какой-то максимальной величины при p pкр и w wкр a . Насколько естественно увеличение расхода газа по

правой ветви параболы А-В, настолько невероятно уменьшение его по левой ветви параболы В-0 при p pкр . Причем в точке 0, согласно формуле (4) при p 0 расход

должен быть равным нулю. Опытами был установлен удивительный факт, что при дальнейшем понижении давления расход остается постоянным, равным

максимальному (участок В-С). Для того, чтобы объяснить это расхождение теории с экспериментом, в 1839 г. Сен-Венаном была выдвинута гипотеза о том, что при расширении газа в суживающемся сопле невозможно получить давление газа ниже некоторого критического давления истечения pкр , соответствующего максимальному

расходу газа через сопло. Эта гипотеза оказалась правильной. При наличии критической скорости, равной скорости звука, никакое уменьшение внешнего давления внутрь сопла не передается, оно как бы сносится потоком газа, движущемся с той же скоростью, с какой распространяются возмущения, т.е. уменьшается давление. Странности в характере зависимости G f ( ) объясняются теорией Лапласа о том, что любое слабое

возмущение распространяется в сжимаемой среде со звуковой скоростью. Если в некоторый момент времени давление газа за соплом p2 несколько уменьшить, то волна

разрежения распространится вдоль потока в направлении, противоположным направлению истечения потока; вдоль сопла установится новое распределение давлений (при том же p1 ), и скорость истечения возрастет. Следует отметить, что волна разрежения будет распространяться вдоль сопла с относительной скоростью (a w) . В случае, когда

распространиться вдоль сопла, т.к. ее относительная скорость (a w) будет равна нулю.

Никакого перераспределения давлений вдоль сопла не произойдет, и, несмотря на то, что давление среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной местной скорости звука на выходе из сопла. По выражению О. Рейнольдса в этом случае поток «не знает» о том, что давление за соплом снизилось. Поэтому при 0 кр

расход газа через сопло сохраняется постоянным, равным Gmax .

При конструировании формы сопла, т.е. величины площади входного и выходного сечения, длины сопла и его профиля, давление на входе в сопло p1 и в среде за соплом pc

обычно бывают заданы заранее. Если величина расхода газа через сопло задается, то Fвх и подсчитывают с помощью соотношения

G Fвх w1 Fвых w2 v1 v2

Скорость газа на выходе из сопла подсчитывают по уравнению (1) для случая w1 w2 .

Приступая к расчету истечения идеального газа из сопла при заданных значениях

93

и для расчета следует применить уравнения (7) и (8). Сопло, предназначенное для реального процесса истечения, имеет длину, обусловленную входным и выходным сечениями и углом конусности; последний выбирается из условий минимальных потерь на трение. Истечение из отверстий в стенке резервуара высокого давления или насадков сопровождается значительными необратимыми потерями на трение, обусловленными завихрениями газового потока. А суживающееся сопло можно рассматривать как трубу, входной участок которой выполнен сглаженным, без острых кромок, а участок постоянного сечения сведен к минимуму. Для уменьшения гидравлического сопротивления внутренняя поверхность сопла тщательно обрабатывается.

Переход через скорость звука. Сопло Лаваля.

Приведенные соотношения справедливы при равномерном распределении скоростей в выходном сечении сопла. Последнее же зависит от его профиля и формы среза. Если же сопло имеет косой срез (для придания нужного направления потоку газа),

т.е. его выходное сечение не перпендикулярно оси сопла, то при p2 кр истечение газа p1

происходит со сверхзвуковой скоростью. При этом газ в суживающейся части сопла ускоряется до скорости звука, а у выхода из сопла расширяется, приобретая скорость,

и расширяющейся частей. Впервые было предложено в 80-х годах прошлого столетия шведским инженером, изобретателем Лавалем. Разрез сопла Лаваля изображен на рис.

Суживающаяся часть работает при дозвуковой скорости, а расширяющаяся при сверхзвуковой скорости. В наименьшем сечении сопла Лаваля скорость потока равна местной скорости звука. Соответствующим подбором величины выходного сечения сопла добиваются того, чтобы давление в выходном сечении сопла p2 было равно давлению

среды pc . Такой режим называется расчетным. Кинетическая энергия в этом случае будет эквивалентна полному адиабатному теплоперепаду между давлениями p1 и p2 и скорость истечения вычисляется по формуле (2). Таким образом, максимальный расход через сопло

94

Лаваля остается таким же, как и в суживающемся сопле, увеличивается только скорость газа.

Расчет суживающейся части сопла Лаваля проводится точно так же, как и для обычного дозвукового сопла. Площадь минимального сечения сопла определяется по заданному G уравнением (9).

Скорость газа на выходе из сопла Лаваля определяется уравнением (2), а для идеального газа – уравнением (1).

Площадь выходного сечения сопла определяется из уравнения

F Gv2

2 w

Величина удельного объема газа в выходном сечении сопла v2 для случая идеального газа может быть найдена из уравнения адиабаты по известным величинам p1 , v1 и p2

Длина суживающейся части сопла, как и длина всякого дозвукового сопла, выбирается минимальной. Расширяющаяся, сверхзвуковая часть сопла, имеющая обычно коническую форму, имеет такую длину, чтобы угол раствора сопла 2 не превышал 12 - 14 . При больших углах раствора возникает опасность отрыва потока от стенок сопла и расширение газа в нем сопровождается образованием вихрей точно так же, как и при отсутствии раструба. Профилированием проточной части сопла достигается лишь различное распределение давлений внутри сопла, но расход при этом в выходном сечении всегда остается постоянным.

Рассмотрим изменение скорости и площади поперечного сечения в зависимости от изменения давления по длине сопла. Для удобства такого анализа воспользуемся формулами (1) и (4) и представим их в безразмерном виде. Для этого скорость потока

поделим на RT1 . Безразмерное отношение

Расход газа через сопло равен

G Fwv FwpRT

Умножим и поделим правую часть равенства на p1 , тогда

T1

G Fwp1 p T1 RT1 p1 T

Т.к. связь между давлением и температурой может быть определена по уравнению адиабаты для изоэнтропного течения газа, то

95

После подстановки значения скорости потока в последнее уравнение получим