Учебное пособие 800316

где Ix – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Как видим, возникающие при чистом изгибе балки нор-

мальные напряжения изменяются по высоте сечения по линей-

ному закону, достигая наибольшего значения в наиболее уда-

лѐнных от нейтрального слоя точках.

5.1.5. Напряжения при поперечном изгибе.

При таком изгибе наряду с изгибающим моментом в попе-

речных сечениях действуют поперечные силы, а, следователь-

но, и касательные напряжения. Это приводит к искажению по-

перечных сечений. Однако, как показывают расчѐты и под-

тверждают эксперименты, эти искажения не оказывают замет-

ного влияния на распределение нормальных напряжений и по-

этому расчѐт последних и при поперечном изгибе выполняют по формуле (5.6), точной, когда поперечные сечения при изги-

бе балки остаются плоскими. Впрочем, эта формула остаѐтся точной и в случае постоянной поперечной силы, поскольку при этом искривление всех сечений происходит одинаково.

Перейдѐм к определению касательных напряжений.

Выделим из балки бесконечно малый элемент двумя близ-

кими поперечными и одним продольным сечением как это по-

казано на рис.5.7. В левом сечении действует нормальная сила

N, являющаяся равнодействующей нормальных напряжений на этой части сечения и касательных напряжений. В правом сечении действует нормальная сила N + dN (здесь мы учиты-

ваем, что изгибающий момент, а, следовательно, и нормальные напряжения могут изменяться по длине балки) и касательные напряжения.

Рис. 5.7

Если, как и при рассмотрении чистого изгиба, пренебречь давлением между продольными слоями, то в продольных се-

чениях мы получим только касательные напряжения. По зако-

ну парности касательных напряжений эти напряжения равны касательным напряжениям в поперечном сечении на уровне рассматриваемого продольного сечения.

Примем, что касательные напряжения равномерно распре-

делены по ширине сечения b. Тогда, проектируя все дейст-

вующие на элемент силы на продольную ось z, получаем урав-

нение равновесия

N dN N b dz 0 ,

откуда находим

1 dN b dz .

Нормальная сила

N dF

где F*- площадь ―отсечѐнной‖ части сечения (она выделена на рис. 5.7,б штриховкой). Подставив в это равенство формулу

(5.6), получаем

сечения относительно нейтральной оси x. Дифференцируя и используя теорему Журавского, находим

Таким образом,

Нами выведена так называемая формула Журавского, с

помощью которой можно получить распределение касатель-

ных напряжений по высоте поперечного сечения.

В верхней точке сечения Sx* 0, в нижней точке сечения

также Sx* 0, т.к. ось x центральная. Поэтому в этих точках всегда 0.

5.1.6. Пример Определим касательные напряжения при изгибе балки

прямоугольного сечения (рис. 5.8). В этом случае b = const,

I x bh312. Для определения касательных напряжений в точ-

ках, отстающих от нейтральной оси на расстояние y1 необхо-

димо определить статический момент Sx* отсечѐнной части,

Здесь F *, yc* - площадь и координата центра тяжести отсечѐн-

ной части.

Рис. 5.8

Следовательно,

Наибольшего значения касательное напряжение достигает на нейтральной оси при y1= 0

3 Q

max 2 bh .

На рис. 5.8 показана эпюра касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении.

5.1.7. Расчѐты на прочность при изгибе

Как мы видели, при указанных выше допущениях при из-

гибе в поперечных сечениях действуют нормальные и каса-

тельные напряжения, а в продольных сечениях, перпендику-

лярных к оси y, - касательные напряжения.

Однако, в связи с малостью касательных напряжений по сравнению с нормальными, расчет на прочность при изгибе выполняют по нормальным напряжениям. Это оправдывается и тем, что нормальные напряжения достигают максимума там,

где отсутствуют касательные напряжения, а наибольшие каса-

поэтому

У сплошного круглого сечения

D3

Wx 32 .

В таблицах сортамента прокатной стали приведены значе-

ния моментов сопротивления относительно главных централь-

ных осей поперечных сечений уголков, швеллеров и двутав-

ров.

Таким образом, условие прочности при изгибе можно за-

писать в виде

В некоторых случаях касательные напряжения могут ока-

зывать заметное влияние на прочность. Примером тому могут служить короткие балки, балки высокого и узкого профиля и деревянные балки. Как мы видели, в продольных сечениях балки, перпендикулярных оси y, возникают касательные на-

пряжения. Дерево же плохо сопротивляется этим напряжениям

– сдвиг продольных слоѐв дерева относительно друг друга осуществляется при сравнительно низких напряжениях. По-

этому при расчѐте таких балок производится также проверка прочности по касательным напряжениям

max .

Допускаемое касательное напряжение определяет по величине предельного касательного напряжения, устанавли-

ваемого испытанием дерева на скалывание.

5.2. Сложное сопротивление

5.2.1. Косой изгиб