Учебное пособие 800145
.pdf
ymin= 81 4
y
Minimum
81/4
y=x+6
6
0 |
3 |
9 |
x
x=3
Рис. 1
29
б) y 3 
x3 6x2 .
Решение.
1. Функция y 3 |
x3 6x2 |
всюду определена: x R или |
D( y) ( , )
2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями.
x2 (x 6) 0; x |
0, |
x |
2 |
6, O(0,0), A(6,0) . |
1 |
|
|
|
3. Исследуем функцию на четность или нечетность: y( x) 3 
x3 6x.
Функция не обладает свойством четности или нечетно-
сти.
4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет ни выколотых точек, ни границ области определения. Ищем наклонные асимптоты y kx b :
|
|
|
3 |
|
x3 6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b lim 3 |
|
|
|
|
|
|
x lim |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 6x 2 |
x 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
x 3 6x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 |
|
6x 2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x 3 |
|
x 3 6x 2 |
x 2 |
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
6x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Левая и правая части графика имеют наклонную асимптоту y x 2 .
5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .
|
|
y |
3x 2 12x |
|
|
|
|
x 4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
33 (x3 6x 2 )2 |
3 x(x 6)2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Критическими |
точками |
первого рода |
|
являются |
точки |
|||||||
x 0 , |
x 4 , |
x 6 . |
При y >0 |
функция возрастает, при |
y <0 |
|||||||
30
убывает. |
Знак производной |
будет меняться в точках |
x 0 , |
||
x 4 . |
Таким |
образом, |
функция |
возрастает |
при |
x ( ,0) (4, ) , |
функция |
убывает при |
x (0,4) . В точке |
||
x 0 имеется максимум ( ymax |
y(0) 0 ), в точке |
x 4 – |
||
|
|
|
|
|
точка минимума ( ymin y(4) 3 |
|
32 3,2 ). |
|
|
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости гра- |
||||
фика функции, а так же точки перегиба. Для этого найдем вторую производную
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
(x 4) |
(x 6) |
2 x 2 (x 6) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x (x 6) 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 x |
2 |
(x 6) |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 x 2 (x 6) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x(x 6)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x4 (x 6)5 |
|||||
3 |
|
|
|||
Критическими точками второго рода являются точки
x 0 , x 6 . Критические точки разбивают область определения функции на три части. График функции выпуклый на интервале (6; ) , график функции вогнутый при
x ( ,0) (0,6) . Точка A(6;0) – точка перегиба графика
функции.
7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы 2.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. |
|
x |
( ,0) |
0 |
(0,4) |
4 |
(4,6) |
6 |
(6, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
не |
|
0 |
+ |
не |
+ |
y (x) |
|||||||
|
|
сущ. |
|
|
|
сущ. |
|
|
+ |
не |
+ |
|
+ |
|
|
y (x) |
|
|
|||||
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
y(x) |
возр., |
max. |
убыв., |
min. |
возр., |
точка |
возр. |
|
вогн |
|
вогн. |
|
вогн. |
перег. |
вып. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
31
8. Строим график функции, нанося асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и точки перегиба графика, соединяя их плавной кривой
(рис. 2).
y
0 |
2 |
4 |
6 |
x |
y=x-2
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975. 624 с.
3.Данко П.ЕВысшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студ. втузов / А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1.
32
СОДЕРЖАНИЕ
Задание №1………………………………………….1 Задание №2………………………………………….3 Задание №3………………………………………….7 Задание №4…………………………………..……...8 Задание №5………………………………..………..13 Задание №6……………………………………..…..14 Задание №7…………………………………..……..16 Задание №8…………………………………..……..17 Примеры решения заданий ….......………………...19 Библиографический список……………………......32
33
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции одной переменной”для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств» очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции Компьютерный набор В.В. Горбунова
Подписано к изданию 28.11.2014. Уч. изд. л. 2,1. “C”
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14