Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800145

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

632.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

8.28.а)

y 16x3

6x2

б)

x3 4

8.29. а)

y x3

3x2

9x 11,

б)

27x 54

y ( x 1)(x 3)

8.30. а)

б)

x 3

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1. Вычислить пределы числовых последова-

(5 4n)2

тельностей:

а) lim

б) lim

3n 1

(n 2)

(n 3)

3n 3

Решение.

а) В пределе lim

(5 4n)2

имеем неопределенность

(n 3)

n (n 2)

. Для раскрытия неопределенности упрощаем дробь и вы-



носим старшие степени в числителе и знаменателе:

lim

(5 4n)2

lim

16n2 40n 25

(n 2)

(n 3)

27n 27

n n

12n 8 n

n2 (16

)

(16

)

lim

16n2 40n 25

lim

15n

15n 35

n n ( 15 n n2 )

n ( 15 n n2 )

16 .

Здесь было использовано, что при

n величины

n 2

стремятся к нулю (являются бесконечно малыми величи-

нами).

б) В пределе	lim	8n2 3n 1	n2	имеем неопределенность
		2
	n	8n 3n 3

1 . Для раскрытия неопределенности 1 преобразуем дробь

и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.

lim

8n2 3n 3 4

lim

8n2 3n 3

(8n2 3n 3)

( 4)

lim

e (8n2 3n 3)

( 4)

(8n2 3n 3)

3n 3

4n2

)

lim

Задание 2. Вычислить пределы функций

x3 4 x 3

а)

lim

б)

lim

x 6 2

3x 2

x 1

x 2

lim

sin 2 6x

lim

ln( 2 3x)

в)

г).

x 1 .

cos 8x

x 0

x 1

Решение.

а)

В пределе

lim

x3 4 x 3

имеем неопределенность

x 1

x 3x 2

Многочлены числителя и знаменателя разлагаем на множите-

ли. Для этого многочлен x3 4x 3				разделим нацело на (x 1) ,
используя, например, деление уголком. В результате имеем
		x3 4x 3 (x 1)(x2 x 3) .
Многочлен знаменателя разлагается на множители в со-
ответствии с легко определяемыми корнями x1 1,						x1 2 .
lim	x3 4 x 3	lim	( x 1)( x2 x 3)	lim	( x2 x 3)		1	1.
	2		( x 1)( x 2)

x 1	x 3x 2	x 1		x 1	( x 2)	1

б) В пределе lim 3 x 6 2 имеем неопределенность 0 .

x 2 x3 8 0

Для выделения множителя (x 2) в числителе умножим

числитель и знаменатель на иррационально сопряженное выражение, позволяющее собрать разность кубов, и упростим.

lim

x 6

2) (3 ( x 6)2 23

x 6

lim

x 6 2

( x 6)2 23 x 6 4)

x 2

x 2 ( x 2)( x2 2 x 4) (3

lim

( x 6 8)

x 2 ( x 2)( x2 2 x 4) (3 ( x 6)2 23

x 6 4)

lim

( x 2)

lim

x 2 ( x 2)( x2 2x 4) (3 ( x 6)2 23 x 6

x 2

( x2 2 x 4) (3

( x 6)2 23

x 6 4)

Поскольку неопределенность

исчезла, то предел вычисля-

ется подстановкой предельного значения x 2 .

144 .

lim

(4 4 4)

x 2 ( x 2 x 4) (

( x 6) 2

x 6 4)

в) В пределе lim

sin 2 6x

для раскрытия неопределен-

cos 8x

ности

воспользуемся

первым замечательным пределом

lim

sin (x)

и формулой понижения степени из тригоно-

(x)

( x) 0

метрии 1 cos 2x 2sin 2 x :

sin 2 6x

36x2

sin

36x

lim

2sin 2 4x

x 0 1 cos 8x

x 0

x 0 sin 2 4x

16x2

16x

г). Рассмотрим предел

lim

ln( 2 3x)

. Для того,

чтобы

x 1

воспользоваться вторым замечательным пределом

1 (x)

lim

( x)

( x) 0

произведем замену t x 1.

lim ln( 2 3x)

lim ln(1 3t ) 3lim ln(1 3t ) 3 lim

ln(1 3t )

x 1

t 0

t 1

3lim ln(1 3t)3t 3ln e 3.

Задание 3. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y 2x4 3x в точке M(1,1).

Решение.

Уравнение

касательной

кривой

y f (x)

точке

( x0 ; f (x0 ) ) имеет вид :

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Так как

y 8x3

то угловой коэффициент касатель-

ной равен y (1) 5 . Получаем уравнение касательной

y 1 5(x 1)

или y 5x 6 .

Уравнение нормали: y 1

(x 1)

или y

Задание 4. Найти производные: а) y

(x3 7x2

2x 2)

5 x 1

sin 2 28x

1 x2

б)

y sin tg 2

в)

arcsin x,

56 cos 56x

г)

y arctg

Решение.

а) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и таблицей производных, имеем

2x 2

x3 7x 2

x 1 x3

7x 2

2x 2

x 1

5(x 1)

3x 2 14x 2

x 1 (x3 7x 2

2x 2)

x 1

5(x 1)

3x 2

14x 2 2(x 1) (x3 7x 2 2x 2)

10 (x 1)3

5x3

27x 2 26x 2

10 (x 1)3

б) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и формулами тригонометрии при упрощении, имеем:

sin 2 28x

sin

tg 2

sin

tg 2

56 cos 56x

sin

28x cos 56x sin

28x cos 56x

56 cos 2 56x

sin 2

28x sin 56x 56

2 sin 28x cos28x 28 cos 56x

56 cos 2 56x

56(sin 28x cos28x cos 56x sin 2 28x sin 56x)

56 cos 2 56x

sin 28x(cos28x cos 56x sin 28x sin 56x)

cos 2 56x

sin 28x cos 28x

sin 56x

cos 2 56x

2 cos 2 56x

1 x 2

в)

arcsin x

x 2 (x)

1 x 2 x 1

x 2

1 x 2

2 1 x

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2

1 x 2

x 2 1 x 2

1 x 2

		1						1							1 x 2												1 x 2			.
																												x 2

x 2 1 x 2								1 x 2					x 2 1 x 2
							x 2 1														1					x 2			1
		г) arctg
		г) arctg
									x									x 2 1							2				x
									x									x 2 1											x
														1
														1
																					x
																					x
					1						(x 2 1) x (x												2 1) (x)

										2												2
					x 2		1			2											x	2
					x 2		1														x
			1
			1
							x
							x
					1						2x 2 (x 2 1)

										2							2
					x 2		1			2						x	2
					x 2		1									x
			1
			1
							x
							x
				x 2						x 2 1											x 2 1
																										.
x		x			2x						x								x		x			1		.
x	2	x		4	2x	2		1			x	2							x	4	x		2	1
	2			4		2						2								4			2

Задание 5. Найти производную функции

y (cos x )ctgx

с помощью логарифмического дифференцирования.

Решение.

Прологарифмируем равенство:

ln y ctgx ln(cos

x) .

Продифференцируем полученное равенство по x, считая

y функцией x:

(ctgx)

ln(cos

x ) ctgx (ln cos

x )

( sin

ln(cos

) ctgx

x )

sin 2

cos

ln(cos

x )

ctgx

sin 2 x

ctgx

ln(cos

x )

y y

ctgx

cos

ln(cos

ctgx

sin

параметрически за-

Задание 6. Найти производную yx

x ln(4 t 2 ),

данной функции

y arcsin

4 t 2 .

Решение.

4 t 2

arcsin

4 t

(4 t

)

4 t

3 2

ln(4 t

)

4 t 2

t 2

(4 t 2 )

4 t 2

2 t 2 3

4 t 2

2 t 2 3

Задание 7. Вычислить приближённо значение функции

y 4

3x 10 с помощью дифференциала в точке

x 1,87.

Решение.

Применение дифференциала в вычислениях связано с использованием приближенного приравнивания приращения

функции

y y(xо x) y(xо )

и дифференциала

функции

dy y (xо ) x :

y(xо x) y(xо ) y (xо ) x .

В нашем случае

2 ,

x 0,13,

y(x ) 4

3 2 10 2,

y (x) 4

3x 10

(3x 10)3

4 4

Имеем:

3 1,87 10

3 2 10

( 0,13)

44 (3 2 10)3

3(0,13)

2 0,01 1,99.

Задача № 8. Провести полное исследование функций а)

б)

y 3

x3 6x2

и построить

графики этих

3)2

функций.

а)

(x 3)2

Решение.

1. Найдем

область определения

функции

. Область определения функции

y(x) ограничена

(x 3)2

нулями знаменателя: D( y) ( ,3)U (3, ) .

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка

О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность:

y( x) ( x)3 /( x 3)2 x3 /(x 3)2 .

Очевидно, что y( x) y(x) и y( x) y(x) , поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать около выколотой точки x 3 . Для доказательства, что вертикальная прямая x 3 будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева от функции y y(x) :

lim	x3	= + ; lim	x3	= + .
	(x 3)2		(x 3)2
x 3 0		x 3 0

Поскольку односторонние пределы стремятся к бесконечности, x 3 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями y kx b при x , x

k = lim

y(x)

lim

1 ;

x x(x 3)2

)

b lim( y(x) kx) lim

x3 x3 6x 2

6x 2 9x

)

lim

(x 3)

)

Таким образом, прямая линия с уравнением y x 6 яв-

ляется асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой и при x .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .

y	3x 2 (x 3)2 x3 2(x 3)			x 2 (x 3)(3x 9 2x)
	(x 3)4				(x 3)4

		x 2 (x 9)			.
		(x	3)3

Критическими точками являются стационарные точки
x 0 , x 9 . При y >0 функция возрастает, при y						<0 убыва-
ет. Знак производной будет меняться в точках x 9						и x 3 .
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости гра-

фика функции, а так же точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

y		(2x(x 9) x2 )(x 3)	3 x2 (x 9)3(x 3)			2
y		x	3 6
		x	3 6
	3x((x 6)(x 3) x(x 9))			54x
					.
		x 3 4		x 3 4	.
		Точкой, где y может менять знак, является точка х = 0,
следовательно, x 0 является точкой перегиба. Если							y < 0,
функция выпукла, при y			> 0 - вогнута.

7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы 1.

8.Строим график функции, нанося асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и точки перегиба графика, соединяя их плавной кривой

(рис. 1).

						Таблица 1
x	( ,0)	0	(0,3)	3	(3,9)	9	(9, )

	+	0	+	не		0	+
y (x)	+	0	+	не		0	+
				сущ.
		0	+	не	+		+
y (x)		0	+	не	+		+
				сущ.
y(x)	возр.,	Т.	возр.,	не	убыв.,	ми-	возр.
	вып.	перег.	вогн	сущ.	вогн.	ним.	вогн.
			.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022621.19 Кб1Учебное пособие 800140.pdf
#
01.05.2022621.5 Кб3Учебное пособие 800141.pdf
#
01.05.2022624.43 Кб2Учебное пособие 800142.pdf
#
01.05.2022629.42 Кб3Учебное пособие 800143.pdf
#
01.05.2022629.98 Кб1Учебное пособие 800144.pdf
#
01.05.2022632.31 Кб1Учебное пособие 800145.pdf
#
01.05.2022645.06 Кб1Учебное пособие 800146.pdf
#
01.05.2022652.48 Кб3Учебное пособие 800147.pdf
#
01.05.2022656.94 Кб4Учебное пособие 800148.pdf
#
01.05.2022658.15 Кб2Учебное пособие 800149.pdf
#
01.05.2022257.89 Кб1Учебное пособие 80015.pdf