2. Магнитное поле соленоида и тороида Основные законы и формулы

• Индукция магнитного поля на оси соленоида конечной длины (рис 2.1)

,

где – плотность витков; α₁ и α₂ – углы, под которыми видны края соленоида из точки А, где определяется магнитная индукция.

• Индукция магнитного поля на оси длинного соленоида

.

• Индукция поля тороида

,

где r – радиус выбранного контура.

Если тороид имеет неограниченное число витков, а его радиус R стремится к бесконечности, то в пределе получается выражение аналогичное магнитному полю бесконечно длинного соленоида .

Примеры решения задач

1. Катушка длиною 2 см и радиусом 3 см состоит из 1000 витков. Ток, проходящий по катушке равен 200 мА. Найти магнитную индукцию на оси катушки в точке:

а) равностоящей от торцов; б) на одном из торцов; в) отстоящей от торца на расстоянии 2см.

Решение.

Воспользуемся формулой для расчета магнитной индукции соленоида конечной длины ,

где .

Согласно рис. 2.2.а ,

, ,

.

Согласно рис. 2.2.б , ,

,

.

В соответствии с рис. 2.2 в

,

Рис. 2.2 в

,

.

2. Чему должно быть равно отношение длина катушки к ее диаметру L/D, чтобы магнитную индукцию в центре катушки можно было найти по формуле для поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превышать 1%.

Р ешение.

Относительная ошибка ищется по следующей формуле , где ,

Рис. 2.3

- магнитная индукция бесконечно длинного соленоида.

- магнитная индукция соленоида конечной длины, где α ₁ и α₂ – обозначены на рис. 2.3

,

,

.

Следовательно

_.

После упрощения

_,

_,

_,

_.

3 . Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения R и n витков на единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток I. Пусть x – расстояние, отсчитываемое вдоль оси соленоида от его торца. Найти:

а) индукцию магнитного поля на оси как функцию x;

б

Рис. 2.4

) расстояние х₀ до точки на оси, в которой индукция поля отличается от В в глубине соленоида на η=1%.

Решение.

а) Относительная погрешность определяется по формуле

,

где ; , так как .

, где .

Таким образом,

.

б) Воспользовавшись соотношением для относительной погрешности, получим:

; _.

; ;

; .

; ,

.

4. Однослойная катушка (соленоид) имеет длину и радиус сечения R. Число витков на единицу длины равно n. Найти индукцию магнитного поля в центре катушки, если ток через нее равен I.

Решение.

Воспользуемся формулой для расчета магнитной индукции на оси витка с током ,

где ,

; .

Знак “-” показывает, что с увеличением угла α dx возрастает в отрицательном направлении оси х (см. рис.2.5).

,

_,

, ,

_.

5. Обмоткой длинного прямого соленоида с радиусом сечения R=2,5 см служит тонкая лента-проводник шириной h=5 см, намотанная в один слой практически вплотную. По ленте течет ток I=5 А. Найти индукцию магнитного поля внутри и вне соленоида как функцию расстояния r от его оси.

Решение.

Изобразим схематически

отрезок ленты, образующий один виток (рис.2.6а). Разложим ток текущий по ленте на две составляющие – параллельную оси соленоида I_║ и перпендикулярную I_┴ (рис. 2.6 б).

Поле внутри соленоида создается перпендикулярной составляющей тока I_┴, а снаружи параллельной составляющей I_║. Поле внутри соленоида рассчитывается по известной формуле , где - линейная плотность перпендикулярной составляющей тока. (рис.3.6 б), где .

; .

Для нахождения индукции магнитного поля вне соленоида необходимо использовать теорему о циркуляции вектора магнитной индукции ,

где , -линейная плотность параллельной составляющей тока.

(рис.2.6 б) => .

Следовательно и ,

где (рис. 2.6 а). , где .

Таким образом .

6 . На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно N=2,5∙10³ витков провода, по которому течет ток I. Найти отношение η индукции магнитного поля внутри тороида к индукции в центре тороида (рис.2.7).

Р

Рис. 2.7

ешение.

Индукция магнитного поля внутри тороида рис. 2.7 ищется с использованием теоремы о циркуляции вектора индукции

,

где N – число витков тороида; R – радиус тороида.

Расчет индукции в центре тороида производится по формуле для кругового проводника с током.

, .

7. Имеется очень длинный прямой соленоид с током I. Площадь поперечного сечения соленоида S, число витков на единицу длины n. Найти поток вектора через торец соленоида.

Решение.

Поток магнитной индукции в центре соленоида определяется по формуле .

На концах соленоида .

8. Вычислить магнитный момент тонкого проводника с током I=0,8 A, плотно навитого на половину тора (рис. 2.8). Диаметр сечения тора d=5 см, число витков N=500.

Решение.

Суммарный магнитный момент формируется параллельными составляющими (рис. 2.8 б).

,

где - число витков на 1 радиан, – число витков, приходящихся на угловой интервал .

В результате интегрирования получим