Лекция №9 Математические модели зубчатых приводов кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

9.1. Некоторые вопросы разработки математических моделей передач

9.2. САПР проектирования зубчатых передач

9.3. Алгоритмы оптимизационного расчета зубчатых передач на ЭВМ

9.1. Некоторые вопросы разработки математических моделей передач

Наиболее сложными при проектировании машин являются математические модели приводов в силу их нелинейности и динамичности. Нелинейность перемещений при контактных деформациях вызывает нелинейную связь мгновенных углов поворота ведущего и ведомого валов передачи. Нелинейность многих процессов связана с наличием сил трения в контактах.

Алгоритмичность обусловлена отсутствием явных зависимостей между входными параметрами. Основной задачей проектного расчета является определение мощности электродвигателя, расчет передаточного отношения клиноременной передачи, определение момента инерции привода и момента инерции маховика, выбор преобразователя, электродвигателя или комплектного регулируемого электропривода по заданным исходным данным. В настоящее время машиностроительные предприятия нашей страны работают в условиях рыночных отношений, которые определяют главные направления их деятельности. Одним из таких направлений является создание изделий высокого качества с наименьшей себестоимостью их изготовления.

Успешное решение этих вопросов в значительной мере зависит от степени научного проникновения в сущность проектируемых технологических процессов, от их математического описания, на основе которого расчетными методами могут быть найдены рациональные и оптимальные технологические решения.

Наибольшую актуальность данная задача приобретает при изготовлении зубчатых передач, от качества выполнения которых существенно зависят важнейшие эксплуатационные показатели машин и механизмов.

Самое широкое распространение зубчатые передачи получили в автомобилестроении, сельхозмашиностроении, авиационной промышленности, транспортном машиностроении, приборостроении и в целом ряде других отраслей промышленности.

В тоже время технологические процессы изготовления зубчатых колес характеризуются многократной сменой технологических баз обрабатываемых деталей, что вызывает сложные закономерности формирования, перераспределения и наследования погрешностей.

Эти обстоятельства являются причиной снижения точности и стабильности операций, предопределяя низкую степень надежности технологии зубообработки.

В связи с чем, наиболее актуальной становится задача оптимизации параметров точности элементов технологических систем изготовления зубчатых колес по обеспечению величины регламентированного уровня надежности обработки (вероятности безотказной работы операции).

С целью решения данной задачи на кафедре технологии машиностроения Курганского государственного университета разработана методика параметрической оптимизации технологических систем операций зубообработки, в основу которой положена математическая модель оптимизации параметров точности элементов технологических систем операций изготовления зубчатых колес по уровню надежности обработки. Построение оптимизационной модели осуществлялось посредством последовательного прохождением ряда этапов, представляющих собой постановку задачи оптимизационного исследования:

- установление границ, отделяющих технологическую систему от внешней среды;

- определение количественного критерия, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего»;

- осуществление выбора внутрисистемных переменных, которые могут быть использованы для определения характеристик и идентификации вариантов;

- собственно построение модели — выявление количественных зависимостей, описывающих взаимосвязи между исследуемыми технологическими факторами и отражающих влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием.

Для приближенного описания реальной технологической системы необходимо определение границ, позволяющих идентифицировать ее в технологическую совокупность. При оценке оптимальных параметров точности элементов технологической системы в качестве основной системы принята технологическая операция, в качестве дополнительных систем, оказывающих существенное влияние на функционирование основной системы — предшествующие технологические операции.

Выявление наилучших условий функционирования технологической системы осуществлялось посредством использования в качестве критерия оптимальности показателя надежности выполнения технологической операции — вероятности ее безотказной работы, определяемого действительными производственными условиями (регламентированного уровня надежности обработки).

9.2. САПР проектирования зубчатых передач

Уменьшение общего времени изготовления продукции связано с сокращением сроков технической подготовки производства (ТПП) и одной из ее главных составляющих - технологической подготовки производства. Особую актуальность эта проблема приобретает для таких сложных и ответственных изделий машиностроения, как детали зубчатых передач, которые выделяются из общего набора деталей машин значительным объемом расчетных работ, связанных с их конструированием и изготовлением, сложностью и многообразием используемого оборудования и инструмента, а также дискретностью и стандартизацией основных конструктивно-технологических параметров.

САПР проектирования зубчатых передач, как правило, состоят из пяти частей и строятся так, что результаты предыдущей части служат входными данными для последующей части. В каждой части программного комплекса имеется несколько независимых программ, построенных на принципиально различных алгоритмах, но предназначенных для решения одной и той же задачи. Получение одинаковых результатов по совершенно различным программам является доказательством правильности расчетов и служит гарантией обоснованности при принятии решения.

Первая часть рассматриваемых программ предназначена для синтеза зацеплений по заранее заданным условиям контакта в расчетной точке – параметрам синтеза. С помощью этой части инженер-технолог рассчитывает некоторое множество различных наборов значений наладок, варьируя параметры синтеза. Выбор из этого множества наиболее подходящего набора производится с помощью остальных частей САПР.

Вторая часть представляет собой моделирование процессов формообразования боковых поверхностей зубьев колеса и шестерни по рассчитанным наладкам.

В третьей части производится геометро-кинематический анализ зацепления колес, боковые поверхности зубьев которых смоделированы с помощью алгоритмов второй части.

Четвертая часть - это анализ работы нагруженной передачи. Основу анализа составляет определение контактных давлений.

В пятой части производится расчет изгибных напряжений контактирующих зубьев и определяется распределение главных напряжений и интенсивности напряжений в районе ножки зуба в различных фазах зацепления.

9.3. Алгоритмы оптимизационного расчета зубчатых передач на ЭВМ

Далее опишем основные моменты алгоритмов всех частей.

Алгоритмы первой части. Для изготовления конических колес с круговыми зубьями используются десятки моделей станков, значительно отличающихся друг от друга конструктивно, но реализующих одну и ту же принципиальную схему зубообработки. В связи с этим задачу синтеза зацепления принято разделять на две части: подбор универсальных технологических параметров и пересчет этих параметров в наладки конкретного зубообрабатывающего станка. К универсальным наладочным параметрам относятся следующие величины: c R – образующий радиус инструмента; i – передаточное отношение цепи обкатки; угловая и радиальная U установки инструмента при обработке расчетной точки зуба; угол наклона бабки изделия; смещение стола изделия; осевое A . и гипоидное E . смещения заготовки.

Один из алгоритмов первой части обычно называется "Синтез по пятну контакта". Его рекомендуется применять при отсутствии каких-либо технологических ограничений на изготовление зубчатых колес, и особенно для тех передач, в которых приработка незначительна.

Исходными данными для подбора значений наладок являются геометрические характеристики зубчатой пары и ее элементов, сведения об инструменте для обработки колеса и параметры синтеза (требования к зацеплению). К числу последних относятся смещения .r и .v (вдоль образующей делительного конуса и в перпендикулярном направлении) расчетной точки (центра будущего пятна контакта) по отношению к средней точке М зуба, лежащей на образующей делительного конуса; отношение уp длины мгновенной контактной площадки в расчетном положении (т.е. в той фазе зацепления, когда точкой контакта является расчетная точка) к ширине зубчатого венца; угол лp между траекторией движения точки контакта по поверхности зуба в расчетном положении к линии зуба; циклическая погрешность fzzor зубцовой частоты передачи; коэффициент km модификации движения обкатки; k – кривизна дуговой режущей кромки.

Общая идеология алгоритма «Синтез по пятну контакта» такова. По известным формулам рассчитываются базовые наладки для обработки боковой поверхности зуба колеса. Далее определяются коэффициенты полинома второй степени, описывающего боковую поверхность зуба колеса как огибающую производящей поверхности при рассчитанных наладках, и подбирается такая форма боковой поверхности зуба шестерни (описанная тоже полиномом второй степени), контакт которой с зубом колеса обеспечит заданные требования. Затем из системы пяти трансцендентных уравнений, два из которых описывают совпадение нормалей в расчетной точке контакта, а остальные три обеспечивают нужную форму боковой поверхности зуба шестерни на уровне вторых производных.

Следующий алгоритм синтеза может быть назван "Синтез по условиям контактной прочности зубьев". Алгоритм основан на решении Герца для контакта поверхностей, описываемых полиномами второй степени. Исходными данными служат геометрические размеры передачи и ее элементов; сведения об инструменте для обработки колеса; момент Т2 на валу колеса; физические характеристики материалов зубьев (коэффициент Пуассона и модуль упругости); параметры синтеза. Параметры синтеза такие же как и в предыдущем алгоритме за исключением двух: величина уp заменена величиной уdatum – значением контактного давления в расчетной точке контакта, а величина fzzor заменена величиной зазора дtmax между боковыми поверхностями зубьев в расчетном положении колес при принудительно равномерном вращении колеса.

Суть алгоритма состоит в подборе такой формы боковой поверхности зуба шестерни (при известной, как и в предыдущем алгоритме, боковой поверхности зуба колеса), при которой максимальное контактное давление, полученное из решения Герца, не превзойдет заданного значения уdatum и контактная площадка не выйдет за контуры зубьев.

Программа «Синтез по условию контактной прочности зубьев» позволяет гораздо быстрее, чем программа «Синтез по пятну контакта», найти удовлетворительный набор наладок. Однако эту программу можно использовать только в тех случаях, когда известна мощность, на которую рассчитана передача, и передаваемый момент (или момент и число оборотов), а также значение допустимого контактного давления. Однако эти величины, как правило, не указываются на геометрических чертежах передачи и их приходится отдельно выяснять у конструкторов.

Более подробно алгоритм «Синтез по условию контактной прочности зубьев».

Третий алгоритм синтеза назван "Синтез при технологических ограничениях". Этот алгоритм полезен в тех случаях, когда имеются различные технологические ограничения. Например, когда необходимо изготовить шестерню тем же инструментом, что и колесо, или изготовить зубчатую пару на станке, имеющем дискретный спектр допустимых передаточных отношений цепи обкатки, или изготовить зубчатое колесо, не прибегая к гипоидному смещению заготовки, поскольку переустановка бабки изделия для обеспечения требуемого гипоидного смещения является достаточно трудоемкой операцией, особенно на тяжелых зуборезных станках.

Исходными данными служат те же величины, что и в алгоритме «Синтез по пятну контакта». Однако при необходимости нарезания зубчатой пары одним инструментом необходимо исключить наладку Rc из состава вектора rx и перевести её в задаваемые величины.

Если же используется станок с кулачковым модификатором, то из вектора наладок нужно исключить передаточное отношение i цепи обката и перевести эту величину в разряд задаваемых.

Если нежелательно давать гипоидное смещение, то из вектора rx наладок нужно исключить .Е.Можно исключать пару наладок, например, Rc и .Е. Естественно, когда часть наладок из искомых переходит в заданные, невозможно точно удовлетворить тем условиям синтеза (пяти трансцендентным уравнениям), о которых говорилось в алгоритме «Синтез по пятну контакта».

Для приближенного удовлетворения составляется функция Ф штрафов, аргументами которой являются наладки. Штрафы налагаются за несовпадение нормалей к контактирующим поверхностям в расчетной точке и за уклонение величин. Нахождение минимума функции Ф производится с помощью метода Хука-Дживса. Более подробно алгоритм описан в работе. После подбора наладок по любому из трех алгоритмов синтеза необходимо оценить качество получаемой зубчатой пары. Этой цели служат алгоритмы остальных четырех частей.

Алгоритмы второй части. С помощью этих алгоритмов можно смоделировать процесс формообразования боковых поверхностей зубьев, выявить наличие или отсутствие подрезания зубьев, вычислить коэффициенты сужения зуба и вершинной ленточки.

Для моделирования процесса формообразования боковых поверхностей зубьев разработаны два независимых алгоритма: алгоритм огибания (первый алгоритм) и алгоритм обволакивания (второй алгоритм). В обоих алгоритмах поверхность зуба получают в виде таблицы аппликат в центрах ячеек прямоугольной сетки. Сетка располагается в касательной к боковой поверхности плоскости, проходящей через среднюю точку М. Положение указанной плоскости определяется углом зацепления и углом спирали, которые задаются конструктором. В алгоритмах имеется возможность использования и криволинейных систем отсчета, например, цилиндрической.

По первому алгоритму поверхность обрабатываемого зуба получается как огибающая семейства производящих поверхностей. Производящая поверхность представляет собой усеченный конус с прямолинейной образующей или дугой окружности с радиусом, равным 1/k.

Несмотря на то, что огибающая отыскивается по рассчитанным наладкам без каких-либо приближений, нет гарантии ее совпадения с реальной боковой поверхностью, получаемой на станке. И дело не только в том, что не учитываются разнообразные погрешности. Даже при отсутствии погрешностей боковая поверхность зуба может быть подрезана, что нельзя выявить в рамках теории огибающих. Кроме того, некоторые участки огибающей могут оказаться математической фикцией. Они образуются несуществующими в реальности точками, лежащими за границами режущих кромок (режущая кромка имеет конечные размеры, а теория огибающих оперирует безграничными линиями и поверхностями).

Чтобы рассчитанная боковая поверхность зуба была как можно ближе к реальной, т.е. к той, что получается на станке, разработан второй алгоритм, с помощью которого поверхность зуба получается как результат непосредственного моделирования процесса съема металла с заготовки (без использования теории огибающих). В центры ячеек сетки, о которой говорилось выше, заносятся аппликаты точек, лежащих на поверхности заготовки. Затем рассматривается последовательность положений производящей поверхности относительно вращающейся заготовки. Для каждого из этих положений в центрах ячеек той же сетки определяются аппликаты точек производящей поверхности.

Первый раз, когда рассматривается первое положение производящей поверхности, эти аппликаты сравниваются с аппликатами точек заготовки. Если в некотором центре ячейки окажется, что аппликата точки производящей поверхности больше аппликаты точки заготовки (в рассматриваемом случае ось аппликат направлена внутрь тела зуба, а сетка расположена практически в касательной к зубу плоскости), то это означает, что в этом месте производящая поверхность сняла металл с заготовки. Из двух сравниваемых аппликат в центре ячейки сетки оставляется та из них, которая больше.

После этого на той же сетке определяются аппликаты точек производящей поверхности при каком-то другом ее положении относительно заготовки.

Снова сравниваются полученные аппликаты с их предыдущими значениями и снова меньшие заменяются большими. Если же в центре какой-то ячейки последующее значение меньше предыдущего, то в этом центре остается предыдущее значение. Рассмотрев таким образом достаточно большое количество положений производящей поверхности, получим табличное представление фактической поверхности зуба в центрах ячеек выбранной сетки. Поверхность зуба по этому алгоритму является границей семейства, полученного при движении производящей поверхности относительно заготовки. Эта граничная поверхность в отличие от огибающей называется обволакивающей. В пределе, при бесконечно большом числе положений производящей поверхности, обволакивающая может совпасть с огибающей, но может и не совпасть. Несовпадение, как правило, возникает из-за наличия у огибающей ребра возврата. Во вторую часть входят несколько алгоритмов визуализации, с помощью которых можно увидеть на экране дисплея форму зубьев шестерни и колеса в сечениях дополнительными конусами, а также вершинные ленточки. Это позволяет отбраковывать плохие наборы значений наладок, при которых происходит подрезание зубьев или значительное сужение вершинной ленточки.

Алгоритмы третьей части. В этой части решается задача анализа зацепления зубчатой пары без нагрузки, т.е. моделируется проверка пары на контрольно-обкатном станке. Для этой цели разработаны четыре различных алгоритма.

1. Алгоритм визуализации процесса зацепления [8], дающий совместное изображение профилей зацепляющихся зубьев конических колес в ряде сечений сферами с центрами в вершине делительных конусов зубчатой пары. При этом определяется минимальный боковой зазор.

2. Алгоритм экспресс-анализа [9], позволяющий в течение нескольких секунд получить кривую Бакстера [10] (график неравномерности передачи вращения одной парой зубьев) и изображения пятен контакта на поверхностях зубьев шестерни и колеса в предположении, что эти боковые поверхности аппроксимированы полиномами второй степени. Алгоритм имитирует испытание зубчатой пары на контрольно-обкатном станке в тормозном режиме при единичном коэффициенте перекрытия и при отсутствии погрешностей монтажа.

3. Алгоритм уточненного анализа зацепления с учетом монтажных погрешностей. Исходными данными для моделирования зацепления зубчатой пары служат: таблично заданные на сетках боковые поверхности зубьев шестерни и колеса, определенные во второй части; векторы, характеризующие положение осей вращения зубчатых колес; толщина слоя краски. Результатами являются пятна контакта и кривая Бакстера.

4. Алгоритм уточненного анализа, альтернативный предыдущему. Он построен на принципиально ином представлении боковых поверхностей контактирующих зубьев.

Алгоритмы четвертой части. В этой части производится анализ работы нагруженной передачи. Основу анализа составляет определение контактных давлений. В ПК «Эксперт» имеется два принципиально разных алгоритма решения контактной задачи.

Первый – негерцевский – основан на численном решении контактной задачи методом последовательного нагружения. Основу алгоритма составляет решение интегрального уравнения, связывающего между собой (в области контакта) условные внедрения тел, функции Грина и контактные давления.

В этом интегральном уравнении известными считаются условные внедрения тел и функции Грина (под функцией Грина понимается распределение нормальных контактных перемещений точек, лежащих на поверхности сжимаемого тела, при действии на него единичной нормальной силы), а неизвестными – область контакта и распределение контактных давлений по ней. Вид функции Грина зависит от формы и размеров контактирующих тел. В решении Герца моделями контактирующих тел служат полупространства. Нами получены приближенные аналитические выражения функций Грина для других моделей упругих тел: четверти пространства, октанта, уступа и их комбинаций. В качестве модели зуба принята часть упругого пространства, ограниченная пятью поверхностями: боковой поверхностью зуба, плоскостями малого и большого торцев колеса, конусом выступов и конусом впадин.

Контактная задача теории упругости решается на каждой фазе зацепления. Входной информацией служат таблично заданные на некоторых сетках поверхности контактирующих зубьев (эти таблицы являются результатом работы программ второй части), положение осей вращения колес, передаваемый крутящий момент и физические свойства материалов, из которых состоят контактирующие зубья. Решение производится методом последовательного нагружения в его сеточной модификации. Нагружение происходит за счет малого поворота колеса при неподвижной шестерне, при этом происходит вдавливание зуба колеса в зуб шестерни. Вначале отыскивается угловое положение колеса, при котором зубья касаются друг друга. Это положение считается начальным для решения контактной задачи. Затем просматриваются все ячейки сетки, на которую переводятся боковые поверхности зубьев, и для центра каждой ячейки этой сетки определяется зазор между поверхностями и угол, на который нужно повернуть колесо, чтобы этот зазор аннулировать. Среди полученного множества углов поворота выбирается минимальный, и производится первый шаг нагружения: колесо поворачивается на этот угол. При этом в первоначальной точке касания возникнет контактное давление. Оно определяется из линейного алгебраического уравнения, которым заменяется исходное интегральное уравнение при известной области контакта, состоящей всего лишь из одной ячейки. Найденное контактное давление позволяет вычислить величину передаваемого момента. Если эта величина еще не достигла заданного значения, то снова обходятся все ячейки сетки и пересчитываются зазоры и углы, при которых эти зазоры исчезают. Из всех углов снова выбирается наименьший и производится второй шаг нагружения путем поворота колеса на этот угол.

При этом в области контакта окажутся уже две ячейки: новая и та, в которой происходило касание поверхностей на первом шаге нагружения. Определяются контактные давления в этих ячейках уже из системы двух алгебраических уравнений, которыми заменяется исходное интегральное уравнение. По найденным контактным давлениям снова подсчитывается передаваемый момент и сравнивается с заданной величиной. Шаги нагружения производятся до тех пор, пока значения заданного и полученного моментов не совпадут друг с другом.

Заметим, что на каждом шаге нагружения при пересчете зазоров между поверхностями контактирующих зубьев учитывается не только изменение положения поверхности зуба колеса в связи с поворотом, но и контактные перемещения точек поверхностей зубьев, вызванные давлениями в области контакта. К концу нагружения становятся известными область контакта (мгновенная контактная площадка), давление в каждой ячейке этой области и угол, на который нужно повернуть колесо при неподвижной шестерне, чтобы достичь упругого равновесия тел при заданном крутящем моменте.

Особенностью метода последовательного нагружения является возможность получения не только конечного состояния упругого равновесия, но и весь набор предшествующих состояний равновесия при последовательно нарастающих значениях передаваемого момента. Эта особенность позволяет анализировать как однопарный контакт, так и одновременную работу нескольких пар зубьев. В алгоритме предусмотрена возможность учета влияния технологических и монтажных погрешностей. Второй алгоритм (герцевский) для определения контактных давлений основан на классическом решении Герца, полученном им для контакта двух поверхностей, описываемых полиномами второй степени. Алгоритм хорошо работает в тех случаях, когда мгновенная контактная площадка не выходит на кромку зуба. В нем предусмотрена возможность учета влияния погрешностей окружного шага. Преимущество герцевского алгоритма по сравнению с негерцевским состоит в практически моментальном получении результатов.

По программам, реализующим алгоритмы четвертой части, вычисляется максимальное контактное давление не только в расчетном положении колес, как в большинстве известных методик, но и на всех других фазах зацепления. Кроме того, определяется распределение передаваемого момента между двумя парами одновременно работающих зубьев.

Алгоритм пятой части. Пятая часть – это расчет изгибных напряжений контактирующих зубьев на каждой фазе зацепления. Изгибным напряжением мы будем называть максимальное главное растягивающее напряжение в районе переходной поверхности зуба. Исходными данными служат таблично заданные на некоторых сетках поверхности контактирующих зубьев, полученные с помощью алгоритмов второй части, положение осей вращения колес, передаваемый крутящий момент и физические свойства материалов, из которых состоят контактирующие зубья. Решение задачи производится в два этапа. На первом этапе производится построение матрицы влияния единичных нагрузок, равномерно распределенных по малым участкам поверхности зуба в районе галтели.

На втором этапе для каждой из фаз зацепления определяется с помощью решения Герца площадка контакта и распределение нагрузок по ней. Далее, определяются контактные нагрузки, действующие на упомянутые участки, и находятся напряжения как линейная комбинация столбцов матрицы влияния. Результатом решения задачи являются: распределение главных напряжений и распределение интенсивности напряжений в районе ножки зуба в различных фазах зацепления, а также максимальные значения указанных величин по фазам зацепления с указанием их локализации.

Упомянутый подход выигрышен тем, что в процессе поиска удовлетворительных наладок построение матрицы влияния может быть выполнено только один раз, поскольку эта матрица определяется только геометрией зуба и базовыми наладками и практически не зависит от малых модификаций боковых поверхностей зубьев, определяемых уточненными наладками.

Вопросы для самоподготовки:

1. В чем заключаются особенности разработки математических моделей передач?

2. На каких принципах строится САПР проектирования зубчатых передач?

3. Опишите алгоритмы оптимизационного расчета зубчатых передач на ЭВМ?