2.3. Математическая постановка задач моделирования механических характеристик конструкций радиоэлектронных модулей

Различные методы анализа механических воздействий и определения динамических характеристик, прочности, нагрузок, резонансных частот конструкций РЭС [1, 7, 8, 9, 11, 12] базируются на использовании в качестве основы дифференциальных уравнений в частных производных теории упругости и теории колебаний [11]. Рассмотрим базовые модели основных задач анализа механических характеристик конструкций РЭС.

При использовании динамической (физической) модели конструкции РЭС в виде системы стержней и пластин (каркасы стоек, блоков, ячеек платы и т.д.) задача сводится к анализу колебаний в таких элементах и имеет типовые постановки и соответствующие ММ.

Модель продольных колебаний стержней включает уравнение [11]

, (2.15)

где - амплитуда (смещение) точки;

с²=Е/;

Е- модуль упругости;

f(x,t)=F(x,t)/ - плотность внешней силы F(x,t), а также начальное условие

(x,0)=(x), (2.16)

. (2.17)

В качестве граничных условий используются следующие:

- условие I рода:

(0,t)=₁(t), (l,t)=₂(t), (2.18)

где l- длина стержня;

f₁, f₂- законы движения концов стержня;

-условие II рода:

, (2.19)

, (2.20)

где F₁, F₂- законы изменения силы, приложенной к концам стержня.

В частности, для упруго закрепленного при x=l стержня:

, (2.21)

где k- коэффициент жесткости закрепления;

- условия III рода:

, (2.22)

_, (2.23)

где  (t)- закон распределения точки закрепления стержня.

В случае трехмерного объекта дифференциальное уравнение гиперболического типа имеет вид

(2.24)

а граничные условия:

-I рода

, (2.25)

- II рода

_, (2.26)

- III рода

. (2.27)

Постановка краевой задачи включает уравнение (2.24), граничные условия (2.25), (2.26) или (2,27) или их сочетание, а также начальное условие

_. (2.28)

При использовании модели поперечных колебаний стержня уравнения записываются в виде

, (2.29)

где

, (2.30)

τ– момент инерции стержня;

s– площадь поперечного сечения стержня.

Граничные условия учитывают типовые случаи закрепления концов стержня:

– для свободного конца стержня

(2.31)

– для жестко закрепленного конца стержня

(2.32)

– для шарнирного закрепления конца стержня

(2.33)

Для некоторых типовых конструкций РЭС (платы) используется модель поперечных колебаний пластины. Механические колебания в однородной пластине описываются уравнением

(2.34)

где

; (2.35)

(2.36)

T – напряжение пластины;

F(x,y,t)– приложенная сила.

При представлении конструкции в виде упругой пластины используется дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка

(2.37)

где – цилиндрическая жесткость пластины;

σ–коэффициент Пуассона;

γ– удельный вес пластины;

ω₀– собственные частоты пластины;

δ– толщина пластины.

Граничные условия:

–края пластины свободно опираются

(2.38)

–края жестко закреплены

(2.39)

–свободные края пластины

(2.40)

(2.41)

В случае действия на пластину нагрузки (внешней силы), изменяющейся по гармоническому закону

(2.42)

уравнение вынужденных колебаний формулируется в следующем виде

(2.43)

где

(2.44)

В качестве математической базы для моделирования вибрационных воздействий в конструкциях РЭС также используются уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, позволяющие определить вибрационные характеристики– перемещения, скорости, ускорения– по величине возмущающей силы.

(2.45)

где q_k–обобщенные координаты ;

;

Е_k– кинетическая энергия;

F_k– обобщенные (внешние) силы.

В случае потенциального характера обобщенных сил

(2.46)

где Е_п– потенциальная энергия, уравнение примет вид

(2.47)

который можно записать иначе

, (2.48)

где L=Е_k - Е_п– функция Лагранжа.

При моделировании одномерных колебаний в конструкциях применяется уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы, в которой выражения для кинетической и потенциальной энергии имеют вид

, _, (2.49)

где m- масса;

;

- смещение (отклонение) координат q от равновесного значения q₀;

k- коэффициент жесткости конструкции.

В случае, когда колебания в такой системе имеют малый характер, формулы Лагранжа представляются в виде [11]

, (2.50)

и дифференциальное уравнение примет форму

(2.51)

или

, (2.52)

где ;

.

В случае колебаний под воздействием внешней силы (вынужденные колебания) уравнение (2.52) примет вид

. (2.53)

При действии в анализируемом объекте сил трения F_m уравнение Лагранжа будет иметь вид

(2.54)

или

, (2.55)

где ;

- коэффициент трения;

/m=2- коэффициент затухания.

Уравнение для вынужденных колебаний такой системы имеет вид

. (2.56)

Для практически каждого случая, когда воздействие имеет гармонический характер, получаем

, (2.57)

где

F(t)=F₀sin(t). (2.58)

Для плоских и объемных объектов применяется модель механической системы с несколькими степенями свободы q_i, где i=2;3. В этом случае энергия системы вычисляется с использованием квадратичных форм:

, (2.59)

,

где -обобщенные координаты и их производные по времени;

m_ik= m_ki, k_ik= k_ki, ( ).

Тогда получаем следующее уравнение Лагранжа

. (2 .60)

Возможно применение уравнений вида (2.53) и для анализа ударных нагрузок, при этом, для внешнего ударного воздействия используют эквивалентную частоту f₀ и параметры эквивалентного ударного импульса (ускорение а₀ и длительность t₀) [11]

, (2.61)

где а(t) и t- амплитуда и длительность реального импульса.