Равновесие при наличии трения скольжения

При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), которая может принимать любые значения от нуля до значения , называемого предельной силой трения.

Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть.

Предельная сила трения численно равна произведению статического коэффициента трения на нормальную реакцию:

Статический коэффициент трения — величина безразмерная; он определяется опытным путем.

При аналитическом решении задач с учетом силы трения реакцию шероховатой связи изображают двумя ее составляющими и . Затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство из этой системы и определяют искомые величины.

Задача 5. Груз весом лежит на горизонтальной плоскости (рис. 27). Определить, какую силу , направленную под углом к этой, плоскости надо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость .

Дано: , .

Рис. 27

Решение. Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него действуют силы , , (реакция опоры) и (предельная сила трения). _{Для определения неизвестной силы составляем два уравнений равновесия системы сходящейся сил действующих на груз:}

: ;

: .

Из второго уравнения, получим .

Поскольку , то из первого уравнения получим

,

,

.

Примечание. При всех расчетах следует определять предельную силу трения по формуле , находя из условий равновесия. Ошибка, когда при расчетах считают , в то время как сила давления на плоскость не всегда равна весу груза (например, данная задача).

Статический расчет плоских ферм

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях. Причем опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму как твердое тело. Усилия в стержнях определяются с помощью метода вырезания узлов или метода Риттера (сечений).

Метод вырезания узлов. При этом методе мысленно вырезают узлы фермы и прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сходящихся сил, приложенных к каждому узлу ( , ). Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е реакция стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получат ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов определяется обычно условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двум. Если вычисления правильные, то многоугольники сил, приложенных к узлам, должны быть замкнутыми.

Метод Риттера (сечений). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассеченных стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось перпендикулярную этим параллельным стержням.

Инструкция к пользованию программой для расчета фермы на ПЭВМ

Программу для проверки полученных результатов можно скачать на сайте http://vuz.exponenta.ru/ (Download Образование Расчет плоской статически определимой балочной фермы), нажав на «exe, Delphi».

1. В скачанной папке «Ферма 6» выбрать «ferm6» и нажать «Enter».

2. Ввести данные по своему варианту:

число панелей ( ) – для данных ферм равно 4;

длина панелей ( ) – задаётся одинаковая длина для каждой из панелей фермы;

ввод высот узлов нижнего пояса ( ) – задать пять значений нижних точек вертикальных стержней слева направо (например, для рис. 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 принимать значения «0»);

ввод высот стоек ( ) – задать пять значений высших точек вертикальных стержней слева направо;

раскосы – задать направления наклона раскосов, нажимая на них на рисунке;

опоры – задать номер узла, закреплённого шарнирно-неподвижно ( ) и шарнирно-подвижно ( ) (нумерация узлов фермы по нижнему поясу слева направо от 1 до 5, по верхнему поясу слева направо от 6 до 10);

число нагрузок ( ) – 2;

нагрузки – указать величину силы, номер узла, к которому она приложена и угол с положительным направлением оси х (откладывать против часовой стрелки).

3. Получить ответ, нажимая на «Solve».

Задача 6. Определить усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. а

_, , , .

Рис. a

Рис. b

_{Решение. Определение реакций опор. Освободим ферму от связей и} заменим связи их реакциями (рис. b). Действие подвижного шарнира В заменим реакцией , а действие неподвижного шарнира А – двумя составляющими и , так как направление полной реакции этого шарнира неизвестно.

Для плоской системы сил, приложенной к ферме, составляем три уравнения равновесия:

1. (уравнение проекций сил на ось );

; (1)

2. (уравнение проекций сил на ось );

;

(2)

3. (уравнение для суммы моментов относительно точки A);

(3)

В уравнение (2) подставляя значение , получим

Знак «-» показывает что истинное направление противоположено изображенному на рис. b.

В результате получаем:

Теперь проверим правильность определения реакций опор. Для этого составляем еще одно уравнение суммы моментов всех сил относительно точки :

(4)

Следовательно, реакции в опорах определены правильно.

_{Определение усилий в стержнях методом вырезания узлов.}

Так как силы, действующие на каждый из узлов фермы, взаимно уравновешиваются, то, вырезая отдельные узлы фермы, составляем по два уравнения равновесия сил, действующих на каждый узел. Узлы вырезаем в такой последовательности, при которой число неизвестных сил в рассматриваемом узле не превышает двух. Все стержни пронумеруем (см. рис. b).

Вырежем узел А (рис. с), заменив действие на узел отброшенной части фермы силами и , направленными вдоль стержней 1 и 2 от узла А, предполагая, что стержни растянуты. Расположим оси проекций так, чтобы ось совпала с направлением силы , а ось – направлением силы реакции .

Составим два уравнения равновесия:

Рис. c

(5)

где

_{, .}

Из второго уравнения (5)

(стержень 2 растянут).

Из первого уравнения (5)

(стержень 1 сжат).

Вырежем узел H (рис. d), к которому приложены четыре силы: две из них известны ( , ), а силы и нужно определить.

Рис. d

(6)

Из первого уравнения (6)

(стержень 4 сжат).

Из второго уравнения (6)

(стержень 3 растянут).

Вырежем узел E (рис. e), к которому приложены четыре силы: две из них известны ( , ), а силы и нужно определить.

Рис. e

(7)

Из второго уравнения (7)

(стержень 5 сжат).

Из первого уравнения (7)

(стержень 6 сжат).

Вырежем узел H₁ (рис. f), к которому приложены четыре силы: две из них известны ( , ), а силы и нужно определить.

Рис. f

(8)

Из второго уравнения (8)

(стержень 7 растянут).

Из первого уравнения (8)

(стержень 8 сжат).

Вырежем узел E₁ (рис. g), к которому приложены четыре силы: две из них известны ( , ), а силы и нужно определить.

Рис. g

(9)

Из второго уравнения (9)

(стержень 9 сжат).

Из первого уравнения (9)

(стержень 10 сжат).

Вырежем узел H₂ (рис.h), к которому приложены четыре силы: две из них известны ( , ), а силы и нужно определить.

Рис. h

(10)

Из второго уравнения (10)

(стержень 11 растянут).

Из первого уравнения (10)

(стержень 12 сжат).

Вырежем узел H₃ (рис.i), к которому приложены три силы: одна из них известна ( ), а силы и нужно определить.

Рис. i

(11)

Из первого уравнения (11)

(стержень 13 растянут).

Из второго уравнения (11)

(стержень 15 сжат).

Вырежем узел B (рис.j), к которому приложены три силы: две из них известны, а силу нужно определить.

Рис. j

(12)

Из первого уравнения (12)

(стержень 14 не загружен).

Из второго уравнения (12)

(стержень 15 сжат).

Определение усилий в стержнях 4, 5, 6 методом Риттера.

Для определения усилия в стержнях 4, 5, 6 проводим сечение I – I через три стержня (см. рис. b.). Мысленно отбрасываем одну из частей фермы, заменив ее действие на оставшуюся часть реакциями разрезанных стержней , и .

Рис. k

В рассматриваемом варианте отбрасываем левую часть фермы, к которой приложено больше сил. Неизвестные усилия направляем в сторону отброшенной части (рис. k). Для определения составим уравнение моментов сил относительно точки , где пересекаются линии действия сил и .

, (13)

отсюда

.

Точкой Риттера для стержня является узел , где пересекаются линии действия сил и . Для определения составим уравнение моментов сил относительно точки :

, (14)

отсюда

Для определения усилия , чтобы исключить из усилия и , проецируем силы на ось :

(15)

отсюда

Сравнивая найденные числовые значения усилий в 4, 5 и 6 стержнях фермы с теми, которые для этих же стержней получены методом вырезания узлов, видим, что они одинаковые.

Результат проверки решения на ПЭВМ

_{Рис. l. Данные задачи, введенные в программу.}

Рис. m. Результаты решения задачи. Нижний пояс ( , , , ), стойки (0, , , , ), верхний пояс (0, , , ), раскосы ( , , , ).