1.2.3. Расчет на жесткость при изгибе

Расчет на жесткость при изгибе балок выполняют исходя из условий жесткости[3]:

,

101

,

где [y] – допускаемое значение прогиба, [y]=(0,001-0,003)ℓ. (Здесь ℓ - длина балки). [θ] – допускаемое значение угла поворота сечения ([θ]=(0,001-0,003) рад).

Рис. 1.4

102

1.3. Задача. Расчет на прочность и жесткость консольной балки

Для заданной стальной консольной балки переменной жёсткости (рис. 1.5, а) подобрать из расчёта на прочность диаметры сплошного круглого сечения.

Рассчитать величину прогиба для крайнего правого сечения и проверить жёсткость балки, если допускаемое значение прогиба этого сечения где l – длина балки. В случае невыполнения условия жёсткости подобрать размер поперечного сечения из этого условия.

Числовые данные:

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчёт на прочность и проверочный расчёт на жёсткость. Условие прочности

(1.3)

где – изгибающий момент; – осевой момент сопротивления.

Условие жёсткости

(1.4)

где – прогиб крайнего правого сечения балки.

Чтобы провести расчёт на прочность, построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

Реакции жёсткого защемления можно не определять, так как балка закреплена с одной стороны.

Разобьём балку на три участка (см. рис.1.5, а), и на каждом участке методом сечений (отбрасывая левую часть) определим поперечную силу и изгибающий момент .

103

Рис. 1.5

104

Участок 1:

Участок 2:

при

при

Участок 3:

при

при

Поперечная сила на третьем участке меняет знак. Определим экстремальное значение изгибающего момента :

По полученным данным строим эпюры поперечной силы (см. рис. 1.5, б) и изгибающего момента (см. рис. 1.5, в).

Проведем расчет на прочность. Так как жесткость балки переменная, запишем условие прочности для каждого участка

(1.5)

г

105

де

Тогда из условий (1.5) получим

Принимаем d = 11 см = 110 мм.

Проверим условие жесткости (1.4). Определим прогиб правого крайнего сечения. Воспользуемся методом Мора. Для этого наряду с «грузовым» состоянием (см. рис. 1.5, а) рассмотрим «единичное» состояние, освободив балку от заданных нагрузок и нагрузив ее вертикальной единичной силой в правом крайнем сечении (см. рис. 1.5, г).

Разбивая «грузовое» и «единичное» состояния на три участка, запишем аналитические выражения для изгибающих моментов и .

Участок 1:

.

Участок 2:

Участок 3:

106

По формуле (1.1) определяем прогиб правого крайнего сечения

где

Тогда

Как видим, крайнее правое сечение балки перемещается вверх. Так как длина балки то

то есть условие жесткости (1.4) не выполняется.

Чтобы обеспечить жесткость балки, определим размер d из условия (1.4), которое принимает вид

Отсюда

107

Принимаем Тогда диаметры участков балки

1.4. Задача. Расчет на прочность и жесткость двухопорной балки

Для заданной стальной двухопорной балки постоянной жесткости (1.6) подобрать из расчета на прочность поперечное сечение в форме двутавра.

Определить методом Мора и проверить способом Верещагина угол поворота Θ опорного сечения 1 и прогиб у крайнего сечения 2 на консольном участке балки.

Проверить жесткость балки в указных сечениях, если допускаемые значения угла поворота и прогиба соответственно равны где l – длина балки. Если жесткость балки не обеспечена, подобрать размер прокатного двутавра из расчета на жесткость.

Используя рассчитанные значения перемещений и эпюру изгибающих моментов, изобразить вид изогнутой оси балки.

Числовые данные:

Рис. 1.6

108

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет на прочность и проверочный расчет на жесткость. Так как жесткость балки постоянна, то из условия прочности проектный расчет ведется по соотношению

(1.6)

Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

Определим реакции , и шарнирных опор А и В (рис. 1.7, а). Реакция , так как горизонтальные и наклонные силы отсутствуют. Для определения и запишем уравнения равновесия:

Проверка:

Разбиваем балку по длине на три участка (см. рис.1.7, а) и на каждом участке методом сечений определяем поперечные силы и изгибающие моменты .

Участок 1:

Поперечная сила меняет знак на участке. Определим экстремальное значение изгибающего момента .

109

Р

110

ис. 1.7

Участок 2:

Участок 3:

Строим эпюры (рис. 1.7, б) и (рис. 1.7, в) и устанавливаем значение изгибающего момента в опасном сечении балки

Из условия (1.6) определяем необходимое значение момента сопротивления сечения

По сортаменту выбираем двутавр № 18, у которого Поскольку оцениваем перегрузку

ч

111

то допустимо. Таким образом, окончательно выбираем двутавр № 18, у которого

Определим угол поворота сечения 1 и прогиб у сечения 2.

Воспользуемся методом Мора. Для этого под заданной балкой, то есть под «грузовым» состоянием “P” (рис. 1.8, а) изображаем две вспомогательные системы или два «единичных» состояния “1” и “2” (см. рис. 1.8, б, в).

2

Рис. 1.8

112

В состоянии “1” балка нагружена единичным моментом в опорном сечении 1 (см. рис. 1.8, б), а в состоянии “2” – единичной силой, приложенной в крайнем сечении 2 консольного участка (см. рис. 1.8, б).

Для определения угла поворота сечения 1 используются состояния “P” и “1” балки, а для определения прогиба сечения 2 – состояния “P” и “2”.

Определим реакции опор для «единичных» состояний.

Состояние “1”

Проверка:

Состояние “2”

Проверка:

Разбиваем «грузовое» и «единичные» состояния на три участка (участки «грузового» и соответствующего «единичного» состояний должны быть одинаковой длины и рассматриваться с одной стороны см. рис. 1.8, а, б, в).

Для каждого участка составляем аналитические выражения изгибающих моментов «грузового» и , соответствующих «единичных» состояний (k = 1, 2, 3). Эти выражения представлены в табл. 1.4.

По формуле (1.1) определяем угол поворота и прогиб :

113

Таблица 1.4

Границы участков
			0

114

Проверим результаты расчета перемещений способом Верещагина. Для этого необходимо построить эпюры изгибающих моментов «грузового» “P” и «единичных» “1”, “2” состояний. Эти эпюры приведены на рис. 1.9, а, б, в соответственно. Эпюра была построена ранее при выполнении проектного расчета на прочность (см. рис. 1.7, в). Для построения эпюр и использованы соответствующие выражения из табл. 1.4.

Разбиваем эпюры , и на участки одинаковой длины. На каждом из этих участков эпюру разбиваем на простые фигуры (см. рис. 1.9, а), для каждой из которых можно определить площадь и положение центра тяжести (см. рис. 1.3).

Р

115

ис. 1.9

На участке АС (см. рис. 1.9, а) эпюра «грузового» состояния представляет собой несимметричный параболический сегмент (рис. 1.10, а). Соединив точки А и С прямой линией, представим эпюру сочетанием двух простых фигур – симметричного параболического сегмента высотой (см. рис. 1.10, б), площадь которого положительна, и прямоугольного треугольника (см. рис. 1.10, в), площадь которого отрицательна.

Рис. 1.10 Рис. 1.11

116

На участке СВ (см. рис. 1.9, а) эпюра «грузового» состояния представляет собой прямую, пересекающую в некоторой точке нулевую линию (рис. 1.11, а). Чтобы не определять положения точки пересечения этой прямой с нулевой линией, поступают следующим образом. Соединяют прямыми линиями точки и В, а также точки С и (см. рис. 1.11, а), и представляют эпюру на этом участке совокупностью двух простых фигур: треугольника (см. рис. 1.11, б), площадь которого положительна, и треугольника (см. рис. 1.11, в), площадь которого отрицательна. Вычисляем площади полученных простых фигур.

Под центром тяжести площади каждой из фигур определяем значения моментов и на соответствующих эпюрах и «единичных» состояний (см. рис. 1.9, б, в).

117

По формуле (1.2) определяем угол поворота и прогиб .

Относительная погрешность расчета прогиба методом Мора и способом Верещагина составляет

Таким образом, точность расчета перемещений вполне приемлема. Знаки полученных перемещений говорят о том, что сечение 1 поворачивается по ходу часовой стрелки, а сечение 2 перемещается вверх.

Проверим жесткость балки в сечениях 1 и 2. Условия жесткости

, (1.7)

. (1.8)

118

По результатам расчетов перемещений

(длина балки ).

Таким образом, условия жесткости выполнены.

119

Используя рассчитанные значения перемещений (сечение 1 поворачивается по ходу часовой стрелки, сечение 2 перемещается вверх), а также эпюру изгибающих моментов (см. рис. 1.7, в), изобразим вид изогнутой оси балки. При этом следует иметь в виду, что на тех участках, где изгибающий момент положителен, изогнутая ось обращена выпуклостью вниз. Если же изгибающий момент отрицателен, изогнутая ось обращена выпуклостью вверх. В точках, где эпюра изгибающего момента меняет знак, на изогнутой оси имеют место точки перегиба. Вид изогнутой оси балки изображен на рис. 1.7, г.