2. Расчет температурных полей при различных схемах нагрева

2.1. Нагрев тел мгновенными источниками теплоты

Нагрев тел может производиться разнообразными источниками теплоты, различающимися между собой по распределенности, времени действия и движению их относительно тела. При определенных условиях все многообразие источников тепло­ты можно получить, пользуясь мгновенным точечным источником теплоты.

Мгновенный точечный источник теплоты - понятие абстракт­ное. Физической схемой, примерно воспроизводящей мгновенный точечный источник, является случай, когда в очень малый объем за весьма малый промежуток времени введено некоторое коли­чество теплоты q. Формально такое введение теплоты можно рас­сматривать как граничное условие при t = 0, когда вместо рас­пределения температур задается распределение теплоты в теле. Действительно, если принять, что во всех точках тела, кроме одной, теплосодержание равно нулю, а в точке скоординатами x₀, y₀, z₀ при t = 0 содержится количество теплоты Q, то будем иметь случай мгновенного точечного источника.

В последующие моменты времени теплота будет распространяться по телу, подчиняясь уравнению теплопроводности.

Процесс распространения теплоты в бесконечном теле в этом случае будет выражен следующим уравнением:

,

где Т - температура в рассматриваемой точке с координатами х; у; z; t - время, отсчитываемое с момента введения теплоты; - расстояние до рассматриваемой точки от начала координат, где была введена теплота q.

При t = 0 во всех точках, где R  0, имеем T = 0. В точке R = 0 при t = 0 имеем T  . Правильность выбора постоянного множителя в уравнении доказывается путем вычисления интеграла, выражающего количество теплоты во всем объеме бесконечного тела. Это количество в любой момент времени равно Q, так как тело не отдает теплоты в окружающее пространство.

Изотермические поверхности представляют собой сферы.

Убывание температуры по радиусу выражается множителем , в то время как множитель описывает убывание температуры точки R = 0 во времени. Наибольшая температура всегда в точке R = 0.

Если теперь воспользоваться принципом наложения, то, комбинируя мгновенные точечные источники, можем получить множество иных источников теплоты. Принципом наложения можно пользоваться при условии, что теплофизические коэффициенты принимают независящими от температуры, а выделением и поглощением теплоты в процессе фазовых превращений пренебрегают. Принцип наложения заключается в сложении температур от действия отдельных источников, которые либо находятся в разных точках тела, либо выделяют теплоту в различные моменты времени, либо и находятся в разных точках тела и выделяют теплоту не одновременно.

Мгновенный линейный источник теплоты. Представляет собой комбинацию мгновенных точечных источников, действующих одновременно и расположенных по линии. Распределение q по линии действия ряда мгновенных точечных источников может выражаться различными функциями. Равномерное распределение Q по линии (рис. 12, а) означает действие мгновенного линейного источника. В случае распределения Q по нормальному закону (рис. 12, б) имеем нормально-линейный мгновенный источник.

Температурное поле в пластине, от мгновенного линейного источника при отсутствии теплоотдачи получается путем интегрирования температурных полей от мгновенных точечных источников

.

Р ис. 12. Расчетные схемы источников теплоты: а - линейный источник в пластине; б – нормально линейный источник; в - плоский источник в стержне; г - нормально круговой источник на поверхности полубесконечного тела

После преобразований и замены Q₁ = Q/z находим

,

где - плоский радиус-вектор (расстояние от рассматриваемой точки до мгновенного источника теплоты); t – время отсчитываемое от момента начала действия мгновенного источника.

Температурное поле симметрично относительно оси z. Теплота распространяется относительно оси z равномерно в плоскости хОу.

Мгновенный плоский источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников теплоты, действующих одновременно и расположенных в одной плоскости. Распределение теплоты Q при t = 0 может иметь разнообразный характер. Под мгновенным плоским источником обычно понимают равномерное распределение Q по сечению (рис. 12, в). В слу­чае нормального распределения Q по кругу имеем мгновенный нормально-круговой плоский источник (рис. 12, г).

Температурное поле от мгновенного плоского источника Q₂ = Q/F в стержне без теплоотдачи выражается уравнением

.

Температурное поле является линейным, температура зависит только от координаты х и времени t.

Мгновенный объемный источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников, распределенных по какому-либо закону в теле.

2.2. Использование принципа наложения при расчетах температурных полей

Мгновенный источник теплоты, распределенный произвольным образом по поверхности или объему тела, можно представит совокупностью мгновенных сосредоточенных источников - точечных, линейных или плоских. Непрерывно действующий неподвижный источник также можно представить как совокупность однотипных мгновенных источников, действующих в одной и той ж области пространства в последовательные моменты времени. Не, прерывно действующий движущийся источник можно представит совокупностью мгновенных источников, действующих последовательно во времени в соответствующих областях пространства. Таким образом, любая сложная схема ввода теплоты в тело может быть представлена совокупностью мгновенных сосредоточенных источников.

Процесс распространения теплоты от элементарных источников (мгновенных сосредоточенных) описывается приведенными выше выражениями. Поскольку указанные выражения являются решениями линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (согласно принятым допущениям), то сумма любого числа таких решений также удовлетворяет соответствующим дифференциальным уравнениям. Физически это означает, что процессы распространения теплоты от отдельных источников не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга. Принцип наложения (суперпозиции) состоит в том, что изменение температуры в процессе распространения теплоты при совместном действии ряда источников (стоков) теплоты рассматривается, как алгебраическая сумма изменений температуры от действия каждого источника (стока) в отдельности.

Принцип наложения неприменим, если: а) считать зависящими от температуры теплофизические свойства материала α, сρ и коэффициент теплоотдачи б) учитывать фазовые или структурные превращения в материале, происходящие с выделением или поглощением теплоты.

Использование принципа наложения является основным приемом расчета тепловых процессов в классической теории распространения теплоты при сварке.

2.3. Неподвижные непрерывно действующие источники теплоты

Процесс нагрева тел непрерывно действующим неподвижным источником теплоты в соответствии с принципом наложения можно описать как последовательное действие серии мгновенных источников теплоты. Результирующее температурное поле определяется интегрированием полей от всех элементарных источников.

Рассмотрим бесконечное теплопроводящее тело, имеющее начальную температуру Т_н = 0. В момент времени t=0 в точке О начинает выделяться теплота. Мощность не­прерывно действующего точечного источника q(t) может изменяться с течением времени или оставаться по­стоянной. Промежуток времени действия источника разобьем на бесконечно малые интервалы. Пусть в момент времени t' мгновенная мощность источника составляет q(t'). Тогда за бесконечно малый интервал dt' источник выделит элементарное количество теплоты dQ=q(t')dt, которое можно рассматривать как количество теплоты, выделенное мгновенным точечным источником, действующим в момент времени t'. Теплота от этого источника распространяется в течение интервала t-t' и вызывает к моменту времени t элементарное приращение температуры

В соответствии с принципом наложения выполним интегриро­вание элементарных приращений температур по времени t' в пре­делах от 0 до t и получим результирующее температурное поле от непрерывно действующего точечного источника:

В частном случае q(t') = const, данное выражение интегрируется

где Ф(u) - функция интеграла вероятности, значение которого определяется по справочным таблицам.

Температура каждой точки тела во время действия источника возрастает (рис. 13, а), стремясь к предельному значению Т_пр, которое устанавливается при длительном действии источника. Если t→∞, то , Ф(0) = 0 и

В предельном состоянии процесса нагрева бесконечного тела непрерывно действующим точечным источником теплоты постоянной мощности температурное поле становится стационарным, температура убывает обратно пропорционально расстоянию от источника. В стационарном состоянии тепловой поток через любую изотермическую сферическую поверхность одинаков и равен мощности источника q.

В случае нагрева пластины без теплоотдачи непрерывно действующим линейным источником постоянной мощности q, проведя аналогичные выкладки, получим

где Ei(u) - интегральная показа­тельная функция.

Температурное поле при непрерывном действии неподвижно­го плоского источника постоянной мощности q в стержне сечением F без учета теплоотдачи с поверх­ности:

В отличие от нагрева массивного тела, характеризуемого достижением предельного (стационарного) состояния, при непрерывном действии неподвижного источника в пластине или стержне (без теплоотдачи с поверхности) предельное состояние не достигается и температура возрастает беспредельно. Если есть теплоотдача c поверхности, предельное состояние в пластине и стержне достижимо. Температурное поле становится стационарным, когда поток теплоты с поверхности делается равным мощности q неподвижного непрерывно действующего источника.

Рис. 13. Зависимость приращения температуры от времени при непрерывном действии неподвижного источника теплоты эффективной мощности 1500 Вт на расстояниях 0,7 см, 1 см и 1,5 см от источника: а - точечный источник теплоты на поверхности массивного стального тела; б - линейный источник теплоты в стальной пластине толщиной δ = 1,2 см; в - плоский источник теплоты в стальном стержне сечением F= 8 см²

2.4. Выравнивание начального распределения температуры

Начальное распределение температуры Т(х, у, z, 0), заданное начальными условиями задачи, можно рассматривать как резуль­тат действия совокупности мгновенных источников теплоты, распределенных соответствующим образом по объему тела. Рассмот­рим в качестве примера выравнивание температур в бесконечном, стержне сечением F, который при t = 0 был нагрет до Т_н на участке длиной 2l; будем полагать, что остальная часть стержня имеет нулевую температуру (рис. 14).

Рис. 14. Процесс выравнивания температуры в неограниченном стержне, участок которого 21 = 2 см был нагрет при t = 0 до Т_н = 1000 К; (а = 0,1 см²/с): а - распределения температуры в различные моменты времени; б - термические циклы в различных сечениях

Полное изменение температуры в сечении А определяется интегрированием приращений температур от совокупности элементарных источников теплоты, расположенных на участке [-l;+l] и описывается выражением

2.5. Подвижные источники теплоты

При выводе выражений, описывающих температурные поля подвижных источников, используем принцип наложения. Как бы­ло показано, перемещающийся (подвижный) источник можно представить совокупностью мгновенных источников, дей­ствующих последовательно во времени в соответствующих облас­тях пространства.

Подвижный точечный источник на поверхности полубесконечного тела.

По поверхности массивного тела прямолинейно и равномерно со скоростью υ перемещается непрерывно действующий точечный источник теплоты постоянной мощности q. Выберем неподвижную декартову систему координат, начало которой совместим с точкой O₀ положения точечного источника теплоты в момент времени t = 0 начала его действия. Оси O₀х₀ и O₀ у₀ выберем в гра­ничной плоскости тела, причем ось O₀х₀ совместим с направлени­ем перемещения источника, ось O₀ z₀ направим в глубь тела (такое направление координатных осей принято в классической теории распространения теплоты при сварке).

При постоянной скорости движения источник в момент времени t будет находиться в некоторой точке О на расстоянии υt от начала координат O₀. Выберем подвижную декартову систему координат, начало которой совместим с точкой О текущего положения источника. Оси Ox, Oy, Oz подвижной системы координат напра­вим аналогично осям неподвижной системы координат O₀х₀y₀z₀ (рис. 15, а).

Рис. 15. Схемы к расчету температурных полей от подвижных источников: а - подвижный точечный источник на поверхности полубесконечного тела; б - подвижный линейный источник в бесконечной пластине; в - подвижный плоский источник в бесконечном стержне

Пусть в некоторый момент времени t' после начала нагрева источник находится в точке О' с координатами (υt', 0, 0). За бесконечно малый промежуток времени dt' источник выделяет элементарное количество теплоты dQ=qdt'. Выделенное в момент времени t' в точке i элементарное количество теплоты dQ, распространяясь в течение времени t - t', вызовет к моменту времени t в точке А массивного тела с фиксированными координатами (x₀, у₀, z₀) изменение температуры

где (x₀ - υt')² + у₀² + z₀² - квадрат расстояния от точки О' до точки А. Множителем 2 в числителе выражения учитываем нали­чие адиабатической границы (плоскости x₀Оу₀).

Согласно принципу наложения суммарное изменение температуры в точке А массивного тела от действия подвижного источника в течение времени t может быть вычислено интегрированием по формуле

В неподвижной системе координат температурное поле точеч­ного подвижного непрерывно действующего источника постоянной мощности, перемещающегося по поверхности полубесконечного тела с постоянной скоростью выражается формулой

Выражение для температурного поля упрощается, если рассматривать процесс в подвижной системе координат Oxyz, связанной с подвижным источником теплоты. Запишем координаты неподвижной точки А массивного тела в подвижной системе координат:

x = x₀ - υt; у = у₀; z = z₀.

Введем переменную времени τ=t-t', выражающую длительность процесса распространения тепла элементарного источника.

Замена переменных и элементарные преобразования подынтегральной функции приводят к следующему выра­жению температурного поля подвижного источника в подвижной системе координат:

где R²=x²+у²+z² - длина радиус-вектора точки А в подвижной системе координат.

Подвижный линейный источник в бесконечной пластине

Линейный источник постоянной мощности q распределен равномерно по отрезку оси Oz, равному толщине пластины δ, и перемещается прямолинейно с постоянной скоростью υ в плоскости пластины x₀О₀у₀ (рис. 15, б). Пластину считаем бесконечной, а ее граничные плоскости z=0 и z=δ отдают теплоту в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте поверхностной теплоотдачи α. Выражение для температурного поля определяем согласно принципу наложения так же, как и выражение для полубесконечного тела. В подвижной системе коор­динат оно имеет вид

где r²=x²+у² - длина радиус-вектора точки А в подвижной системе координат.

Подвижный плоский источник в бесконечном стержне

Плоский источник постоянной мощности q равномерно распределен по сечению стержня F и перемещается с постоянной ско­ростью υ вдоль оси бесконечного стержня О₀х₀ (рис. 15, в). Боковая поверхность стержня отдает теплоту в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте поверхностной теплоотдачи α. Выражение для температурного поля определяется согласно принципу наложения. В подвижной системе координат, связанной с источником теплоты, оно имеет вид

2.6. Предельное состояние процесса распространения теплоты

Если следить за температурным полем, связанным с дугой или другим сосредоточенным источником теплоты постоянной мощности, то можно заметить, что возникающая в начале процесса нагрева область повышенных температур с течением времени увеличивается и достигает определенных (предельных) размеров, после чего в подвижной системе координат температурное поле остается практически неизменным. Такое состояние процесса нагрева называется предельным, или установившимся.

Таким образом, процесс нагрева тела источником постоянной мощности делится на два периода:

первый период - теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;

второй период - предельное, или установившееся состояние процесса распространения теплоты, когда в системе координат, связанной с источником, температурное поле остается постоянным.

При неподвижном источнике температурное поле предельного состояния называют стационарным, при подвижном источнике связанное с ним температурное поле предельного состояния называют квазистационарным. Процесс распространения теплоты стремится к предельному состоянию при неограниченно длительном действии источника постоянной мощности, т. е. при t→∞.

Температурное поле предельного состояния в массивном теле

Температурное поле предельного состояния при нагреве поверхности полубесконечного тела подвижным точечным источником постоянной мощности можно получить из приведенного выше выражения, полагая t→∞. После выполнения ряда математических преобразований получаем следующее выражение для квазистационарного температурного поля:

где R - длина радиус-вектора рассматриваемой точки А полубесконечного тела в подвижной системе координат; х - абсцисса точки А в подвижной системе координат.

Отсутствие переменной t, связанной со временем протекания процесса, означает, что предельное состояние достигнуто. Частным случаем данного выражения при υ=0 является выражение для температурного поля предельного состояния неподвижного источника.

Вид квазистационарного температурного поля подвижного то­чечного источника теплоты на поверхности полубесконечного тела представлен на рис. 16. Изотермические поверхности являются поверхностями вращения относительно оси Ох. Изотермы в плоскости хОу являются замкнутыми кривыми, сгущенными впереди источника и растянутыми позади него. Чем быстрее движется источник, тем более вытянуты изотермические кривые. Изотермы низких температур, соответствующие большим расстояниям R от источника, более вытянуты, чем изотермы высоких температур.

Рис. 16. Температурное поле предельного состояния при движении точечного источника теплоты по поверхности полубесконечного тела (q = 4 кВт, υ=0,1 см/с, λ=0,4 Вт/(см·К), а = 0,1 см²/с): а - схема расположения координатных осей; б - распределение приращений температуры по прямым, параллельным оси Ох и расположенным на поверхности массивного тела; в - распределение приращений температуры по прямым, параллельным оси Оу и лежащим в плоскости xOz; г - изотермы на плоскости хОу (штриховая линия разделяет область нагрева и область остывания); д - изотермы в поперечной плоскости yOz, проходящей через центр источника

Температурное поле предельного состояния в плоском слое

Распределение температур в плоском слое при действии на его поверхности подвижного точечного источника может быть рассчитано с использованием метода отражения. Действительный точечный источник принимают перемещающимся по поверхности полубесконечного тела (рис. 17). Отражение потока теплоты, создаваемого источником О, от границы I учитывают введением фиктивного источника О₁, симметричного источнику ш относительно границы I, т. е. на расстоянии 2δ от источника О, действующего на границе II. В свою очередь, граница II для ис­точника О₁ будет учтена, если ввести фиктивный источник О₂, удаленный от границы II на расстояние 2δ. Для этого источника необходимо учесть границу I и т. д. В результате таких манипуляций формируется симметричная относитель­но границы I система бесконечного числа точечных источников, расположенных на оси Oz, причем каждый последующий источник удален от предыдущего на расстояние 2δ.

Рис. 17. Схема введения фиктивных источников для расчета температур в плоском слое

Такая закономерность расположения источников легко форма­лизуется, что позволяет записать выражение для квазистационарного температурного поля в плоском слое в виде суперпозиции полей предельного состояния всех источников:

где - длина радиус-вектора рассматри­ваемой точки А в подвижной системе координат, связанной с i-м источником теплоты; х - абсцисса точки А в подвижной системе координат, i - целые числа от -∞ до +∞, i=0 соответствует реальному источнику О.

Рис. 18. Температурное поле предельного состояния при наплавке на стальной лист толщиной δ=2 см (q=4 кВт, υ=0,1 см/с, λ=0,4 Вт/(см∙К), а=0,1 см²/с): а - изотермы и кривые максимальных приращений температур на верхней (z=0) и нижней (z=δ) поверхностях; б - изотермы в продольной плоскости xOz; в - изотермы и нормальные к ним линии теплового потока в поперечной плос­кости yOz

Следует отметить, что по мере удаления фиктивных источников от реального (с увеличением R,), их вклад в приращение температу­ры стремительно уменьшается, поэтому для инженерных расчетов можно ограничиться учетом лишь нескольких отражений. Характер температурного поля в плоском слое (рис. 18) по­зволяет выделить в нем три зоны.

В зоне, прилегающей к источни­ку теплоты, распределение температуры мало отличается от тако­вого в полубесконечном теле. В зоне, удаленной от источника на расстояние более 4δ, температура по толщине практически выравнена, и распределение ее близко к температурному полю пластины. Между этими зонами располагаете переходная зона. Соотношение между размерами зон может изменяться в зависимости от параметров источника теплоты, толщин плоского слоя и теплофизических свойств материала.

Температурное поле предельного состояния в бесконечной пластине

Выражение для температурного поля предельного состояния от линейного источника постоянной мощности, движущегося прямое линейно с постоянной скоростью, в бесконечной пластине с теплоотдачей имеет вид

где - длина радиус-вектора рассматриваемой точки А в подвижной системе координат; K₀(u) - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Изотермы в плоскости хОу также являются замкнутыми кривыми, сгущенными впереди источника и растянутыми позади него (рис. 19).

Частным случаем при υ=0 является выражение для температурного поля предельного состояния от неподвижного линейного источника постоянной мощности в пластине с теплоотдачей:

В этом случае изотермическими поверхностями являются круговые цилиндры с осью, совпадающей с линейным источником теплоты.

Рис. 19. Температурное поле предельного состояния при движении линейного источника в бесконечной пластине толщиной δ=1 см (q=4 кВт; υ=0,1 см/с, λ=0,4 Вт/(см∙К), а=0,1 см²/с, b=2,8∙10^-3 с^-1): а - изотермы на поверхности пластины (штриховая линия разделяет область нагрева и область остывания); б - схема расположения координатных осей; в - распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси Ох; г - распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси Оу

Температурное поле предельного состояния в бесконечном стержне

Температурное поле предельного состояния от подвижного плоского источника в стержне с теплоотдачей имеет вид

2.7. Периоды теплонасыщения и выравнивания температур

В начальный период действия источника теплоты (например, после зажигания дуги) температуры точек тела монотонно возрастают от начальных значений до температур предельного (стационарного или квазистационарного) состояния, которое теоретически устанавливается в течение бесконечно большого промежутка времени. В действительности длительность этого периода конечна и он носит название периода теплонасыщения. Расчет температур, в этом периоде для различных расчетных схем можно выполнять численными методами на ЭВМ либо аналитическими - по формулам предельного состояния для принятой расчетной схемы, но с обязательным учетом поправочного коэффициента теплонасыщения.

ψ =( T(t) - Т_н)/( Т_пр - Т_н),

где T(t) - температура на стадии теплонасыщения; t - время от момента начала сварки; Т_н - начальная температура; Т_пр - температура предельного состояния.

Коэффициент теплонасыщения ψ возрастает от нуля в начальный момент времени до единицы в предельном состоянии. Значения коэффициента теплонасыщения для трех основных расчетных схем процесса распространения теплоты определяется по номограммам (рис. 20) в зависимости от безразмерных критериев расстояния (ρ₁, ρ₂, ρ₃) и времени (τ₁, τ₂, τ₃). Индекс при указанных критериях соответствует размерности соответствующего процесса (1 - линейный, 2 - плоский, 3 - пространственный).

Для пространственного процесса распространения теплоты (схемы полубесконечного тела и плоского слоя) безразмерные критерии ρ₃ и τ₃ вычисляют по формулам

; .

Рис. 20. Номограммы для определения коэффициента теплонасыщения: ψ₃ - для схемы точечного источника в массивном теле (а); ψ₂ - для схемы линейного источника в бесконечной пластине (б)

Для плоского процесса распространения теплоты (схема пластины) безразмерные критерии ρ₂ и τ₂ вычисляют по формулам

; .

где b - коэффициент температуроотдачи пластины.

Из номограмм (рис. 20) следует, что чем больше значение безразмерного критерия расстояния ρ, тем позже достигается предельное состояние процесса. Чем более стеснен поток теплоты, тем медленнее идет процесс теплонасыщения.

Следует иметь в виду, что расстояние от источника теплоты до точки тела (R или r), , определяется в подвижной системе координат с учетом заданных координат точки и времени t, прошедшего после начала сварки, т. е.

x = x₀-υt; у = у₀; z = z₀.

Здесь х, у, z - координаты точки в подвижной системе координат, связанной с источником; x₀, у₀, z₀ - координаты точки в неподвижной системе координат.

После прекращения действия источника теплоты наступает период выравнивания температур. Введенная ранее теплота продолжает распространяться в теле и отводиться в окружающую среду. Расчет температур в этот период выполняют с помощью приема, предусматривающего ввод в расчетную схему фиктивного источника и совмещенного с ним фиктивного стока той же мощности, компенсирующего действие фиктивного источника (рис. 21).

Рис. 21. Схема действия фиктивных источника и стока в период выравнивания температур

Благодаря этому задача о прекращении действия источника превращается в задачу о начале действия стока, которую решают с использованием изложенных выше подходов для периода теплонасыщения. Температура после окончания сварки может быть рас­считана по формуле

T(t) =Т_н+(Т_пр-Т_н)[ψ(t) - ψ(t–t_к)],

где T(t) - температура на стадии выравнивания температур; Т_пр - температура предельного состояния; ψ(t) - коэффициент теплона­сыщения, соответствующий длительности нагрева t; ψ(t–t_к) - ко­эффициент теплонасыщения, соответствующий длительности ра­боты стока теплоты t–t_к; t - время от момента начала сварки; t_к - время окончания сварки (время действия источника).

В тех случаях, когда время действия реального источника дос­таточно велико и можно полагать, что к моменту прекращения на­грева было достигнуто предельное состояние (ψ(t) = 1), расчетное выражение упрощается:

T(t) =Т_н+(Т_пр-Т_н)[1 - ψ(t–t_к)].

Пример. На поверхности полубесконечного тела из стали Ст3 ручной дуговой сваркой наплавляют валик длиной l=150 мм (рис. 22). Режим наплавки: U=25 B; I=400 A;  = 210^-3 м/с.

Рассчитать температуру в начале, середине и в конце сварного шва через 10 с (t_H ) после окончания сварки.

Рис. 22. Схема наплавки валика на поверхность массивного тела

В соответствии с заданным способом сварки принимаем тепловой КПД равным 75%.

Мощность источника теплоты

Дж/с.

Теплофизические свойства металла:

Вт/(м·К); м²/с.

При наплавке действительный точечный источник на длине шва 150 мм перемещается со скоростью  = 2 мм/с. Длительность его действия t_k = l/ = 150/2 = 75 с.

После окончания сварки фиктивный источник и сток, двигаясь с той же скоростью, через 10 с находятся в точке, удаленной от конца шва на расстояние х_м

х_м =  t_H = 210 = 20 мм.

Координаты начала, середины и конца шва относительно фиктивного источника и стока

х₀ = - l - х_м = -150-20 = -170 мм; у₀ = 0; z₀ = 0.

х_N = - l/2 - х_м = -150/2 - 20 = -95 мм; у_N = 0; z_N = 0.

х_к = - х_м = -20 мм; у_к = 0; z_к = 0.

Предельные температуры начала, середины и конца шва определим по рассчитанной ранее таблице:.

начала шва Т(-170;0;0) = 164 K

середины шва Т(-95;0;0) = 293 K

конца шва Т(-20;0;0) = 1393 K

Длительность действия действительного и фиктивного источников t = 75 + 10 = 85 c. Длительность действия фиктивного стока t – t_k = 10 с.

Безразмерные критерии для нахождения коэффициентов теплонасыщения: расстояния

начала шва ;

середины шва ;

конца шва .

времени действия источников

;

времени стока .

Соответствующие коэффициенты теплонасыщения по номограмме:

начала шва ψ₃ = и ψ₃^΄ =0;

середины шва ψ₃ = 0,85 и ψ₃^΄ =0;

конца шва ψ₃ = 0,98 и ψ₃^΄ =0,62.

Температуры через 10 с после окончания наплавки:

начала шва Т₀ = 164(0,61 - 0) = 100 K;

середины шва Т_N = 293(0,85 - 0) = 249 K;

конца шва Т_K = 1393(0,98 - 0,62) = 501 K.

2.8. Быстродвижущиеся источники теплоты

В сварочной технике широко применяются мощные источники теплоты, позволяющие осуществлять сварку с весьма большими скоростями. Высокая скорость движения источника приводит к то­му, что температурное поле значительно деформируется - изотермы вытягиваются вдоль направления движения источника (оси Ох) и сгущаются в поперечных направлениях (вдоль осей Оу и Оz). Это означает, что соотношение потоков теплоты в различных направле­ниях изменяется, т. е. потоки теплоты в направлении оси Ох стано­вятся значительно меньше, чем в направлениях осей Оу и Оz. B предельном случае при υ→∞ тепловые потоки вдоль оси Ох становятся бесконечно малыми, т. е. пространственный процесс распростране­ния теплоты в массивном теле превращается в плоский, а плоский процесс распространения теплоты в пластине - в линейный.

Указанная особенность позволяет сделать вывод о том, что при высоких скоростях движения источника тепловыми потоками вдоль оси Ох можно пренебречь (следовательно, уменьшить размерность задачи расчета температурного поля) и рассматривать процесс распространения теплоты лишь в направлениях, перпен­дикулярных оси Ох.

Таким образом, процесс распространения теплоты в массивном теле от быстродвижущегося точечного источника можно предста­вить совокупностью одинаковых сдвинутых во времени, не взаи­модействующих между собой элементарных плоских процессов распространения теплоты в поперечных сечениях от мгновенных источников. Процесс распространения теплоты в пластине при действии быстродвижущегося линейного источника можно представить совокупностью одинаковых (сдвинутых во времени и протекающих независимо друг от друга) линейных процессов распространения теплоты в поперечных сечениях от мгновенных плоских источников.

Допущение о том, что источник теплоты является быстродвижущимся, значительно упрощает расчетные схемы и соответствующие математические выражения.

Сопоставление расчетных и экспериментальных данных показало, что схема быстродвижущегося источника теплоты применима при скорости перемещения электрической дуги или электронного луча более 20…25 м/ч.

Определение температурного поля выполняют по уравнениям:

для точечного источника

,

для линейного источника

,

где t – время, отсчитываемое от момента, когда источник тепла пересек плоскость y₀0z₀, в которой находится рассматриваемая точка; y₀ , z₀ – неподвижные координаты рассматриваемой точки.

Применительно к рассматриваемым схемам можно аналитическим способом выразить связь между координатами точек изотермы определенной температуры. Заменив в формулах для предельной температуры t на [-x] и направление оси х на обратное, можно получить соответственно следующие уравнения поверхностных изотерм температурного поля быстродвижущихся точечного и линейного источников (без учета отдачи тепла поверхностью):

,

.

Схема предельного состояния процесса распределения тепла в полубесконечном теле на плоскости z = 0 показана на рис. 23.

По распределению температур по оси х все изотермы от Т = 0 до Т = ∞ сходятся в точке 0, в которой действует источник тепла. Физически это невозможно. Поэтому схема быстродвижущегося источника тепла совершенно не позволяет оценивать тепловые процессы перед источником, но позволяет проще и с относительно небольшой погрешностью определять температурные поля позади источника, в области охлаждения.

Рис. 23. Распределение температур в плоскости х0у для схемы быстродвижущегося источника

2.9. Нагрев тонкостенных оболочек

При однопроходной сварке продольных и кольцевых швов тонкостенных оболочек, имеющих цилиндрическую или конусную форму, их нагрев (несмотря на кривизну) можно рассматривать как случай нагрева пластины линейным источником теплоты. Это объясняется тем, что цилиндр и конус являются развертывающи­мися поверхностями, а при однопроходной сварке с полным про- плавлением температуру по толщине листа можно считать вырав­ненной. На распространение теплоты могут оказывать влияние лишь размеры заготовки.

При сварке продольного шва тонкостенной трубы или обечайки малого диаметра имеет место встреча тепловых потоков в сечении, диаметрально противоположном стыку (рис. 24, а). Поскольку тепловые потоки, подводимые к этому сечению справа и слева, одинаковы, то это сечение можно рассматривать как адиабатическую границу, а данный случай - как сварку двух узких пластин встык.

Рис. 24. Схемы движения источников при нагреве тонкостенных оболочек: а - сварка продольного стыка трубы; (слева - общий вид, справа - развертка); б - сварка кольцевого стыка; в - сварка по образующей конуса

При сварке кольцевого стыка труб малого диаметра, когда время сварки невелико, температура точек, лежащих вблизи места начала сварки, к моменту замыкания кольцевого шва оказывается достаточно высокой (автоподогрев). Для учета этого явления при расчете температур можно использовать схему бесконечной пластины с двумя подвижными линейными источниками, движущимися синхронно в одном направлении вдоль оси шва (рис. 24, б). Источник 1 удаляется от точки O₀ начала шва, а источник 2 приближается к ней; расстояние между источниками остается неизменным, равным периметру трубы πd. Поскольку время сварки невелико, следует учитывать процесс теплонасыщения для температурного поля каждого. Результирующее температурное поле во время сварки определяется наложением температурных полей двух источников. После выхода источника 2 в точку O₀ и прекращения сварки обе составляющие температуры определяются в стадии выравнивания.

При выполнении сварки вдоль образующей тонкостенного конуса небольшого диаметра температурное поле может быть определено путем разворачивания конуса в клиновидную пластину с осью симметрии, совпадающей с осью шва. Две адиабатические границы на краях клиновидной пластины учитываем введением в расчет двух фиктивных источников q' и q", движущихся, как и реальный источник, в радиальном направлении (рис. 24, в).

Распространение теплоты при сварке экваториальных однопроходных швов на тонкостенных сферах происходит при некотором стеснении теплового потока вследствие кривизны сферической оболочки в двух направлениях. Температура точек оказывается несколько выше, чем в бесконечной пластине той же толщины. На сферах большого диаметра влиянием кривизны можно пренебречь, если выполняется соотношение

q/(υ∙cρ∙δ∙R_c) <200

где υ - скорость сварки; δ - толщина стенки сферы; R_c - радиус сферы.

В ряде случаев сварка тонкостенных труб выполняется за несколько проходов без остановки процесса. Приближенный расчет температур можно провести, используя схему бесконечной пластины с несколькими последовательно движущимися друг за другом источниками (как это было сделано для случая сварки кольцевого шва трубы малого диаметра). В зависимости от режима сварки можно использовать схемы подвижных или быстродвижущихся источников.

2.10. Влияние режима сварки и теплофизических свойств металла на поле температур

Рассмотрим влияние скорости сварки и эффективной мощности источника теплоты на температурное поле предельного состояния при сварке пластин.

С увеличением скорости  при q=const изотермы, соответствующие определенным температурам, например Т=600 °С, уменьшаются по ширине и длине (рис. 25, а). Если пренебречь коэффициентом температуроотдачи, то окажется, что уменьшение длины и ширины изотерм происходит прямо пропорционально увеличению скорости сварки.

С возрастанием мощности источника теплоты области, нагретые выше определенной температуры, увеличиваются по длине и ширине значительно быстрее мощности источника. Увеличение длины изотерм идет быстрее, чем ширины (рис. 25, б). Одновременное увеличение мощности источника теплоты и скорости сварки при постоянной погонной энергии - сварки приводит в основном к увеличению длины изотерм. Ширина изотерм также увеличивается, но стремится к определенному значению (рис. 25, в).

Теплофизические свойства металла также оказывают существенное влияние на поле температур.

Наиболее заметно влияет теплопроводность металлов . Увеличение теплопроводности при прочих равных условиях примерно соответствует случаю одновременного уменьшения мощности и скорости при постоянной погонной энергии сварки. Изотермы сильно укорачиваются по длине и несколько сужаются по ширине. В качестве примера можно сравнить между собой малоуглеродистую и аустенитную стали, у которых теплоемкости примерно одинаковы, а теплопроводность различная (рис. 26, а, б). У меди и алюминия, обладающих высокой теплопроводностью, изотермы в области высоких температур близки к окружностям (рис. 26, в, г).

Рис.25. Влияние режима сварки на температурное поле предельного состояния в пластине =10 мм: а – изменение скорости сварки  при q=const, б – изменение мощности источника теплоты q при =const, в – изменение мощности и скорости при q/=const;  = 38 Дж/мсград; с = 5∙10⁶ Дж/м³·град; а = 8∙10^-6 м²/с

Увеличение теплоемкости металла с оказывает примерно такое же влияние, как увеличение скорости сварки при постоянной мощности. С увеличением теплоемкости металла при прочих равных условиях изотермы укорачиваются и сужаются.

Рис. 26. Влияние теплофизических свойств на характер температурного поля в пластине толщиной 10 мм; q=4200 Дж/с; =2 мм/с

При сварке массивных тел влияние параметров режима сварки и свойств металла на поле температур иное, чем при сварке пластин.

Изменение скорости сварки при q=const в основном влияет на ширину изотерм и почти не влияет на их длину. По оси шва в области позади источника теплоты, где R = -х, распределение температуры не зависит от скорости.

Поэтому с увеличением скорости сварки изотермы сгущаются впереди источника теплоты, а распределение температуры на отрицательной полуоси остается постоянным (рис. 27).

С увеличением мощности источника теплоты q увеличивается длина и ширина изотерм на плоскости хОу. Увеличение длины изотерм происходит быстрее, чем их ширины.

Одновременное увеличение мощности источника и скорости сварки при постоянной погонной энергии сварки q/ качественно влияет на форму и размеры так же, как и при сварке пластин.

Увеличение теплопроводности  равносильно одновременному уменьшению мощности источника и скорости сварки при постоянной погонной энергии q/. Увеличение теплоемкости с влияет так же, как возрастание скорости сварки, т. е. изотермы сужаются но распределение температуры по отрицательной полуоси остается постоянным.

Рис. 27. Влияние  точечного источника теплоты на распределение температуры по оси Ох в полубесконечном теле:

q =4000 Дж/сек;  = 40 Дж/мсград; а = 8∙10^-6 м²/с