Фиктивные переменные во множественной регрессии

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель факторы, которые представляют собой различные атрибутивные признаки. Такими признаками, например, являются профессия, пол, образование, климатические условия и т.п. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразовать в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

,

где y – количество потребляемого кофе;

x – цена кофе.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: и женского пола: . Если сила влияния цены на количество потребления кофе одинакова как для мужчин, так и для женщин ( ), то становится возможным построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Это уравнение может быть записано в виде:

,

где - фиктивные переменные, принимающие значения:

.

Следует отметить, что применение МНК для оценивания параметров и приводит к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к невозможности получения их оценок.

Выходом из создавшегося положения может явиться переход к уравнению

,

т.е. уравнению, включающему только одну фиктивную переменную. Предположим, что МНК были получены оценки параметров этого уравнения, тогда теоретические значения размера потребления кофе для мужчин будут получены из уравнения

.

Для женщин соответствующие значения получим из уравнения

.

ПРИМЕР. Строительная организация продает облицовочную плитку в трех городах: Воронеже, Липецке и Курске. Маркетинговая служба хочет определить влияние отчислений на рекламу Y (тыс. р.) на количество проданной продукции Х (млн. шт.). При этом предполагается, что зависимость фактора Х на функцию Y линейная и степень влияния факторов друг на друга (коэффициент а уравнения регрессии) во всех городах примерно одинаков, но различный спрос на продукцию (свободный член уравнения). Организация желает включить в регрессионную модель такой фактор как «город». Имеются следующие статистические данные.

г. Воронеж

X	25	14	19	27	33	31	12	16	28
Y	37	24	25	39	42	43	22	27	27

г. Липецк

X	13	18	19	24	21	17	31	29	16	27	22	21
Y	30	33	33	41	35	31	45	45	30	40	33	32

г. Курск

X	16	15	11	19	27	31	29	22	19	26
Y	22	20	18	25	28	35	32	27	26	31

Введем фиктивные переменные

В результате получаем регрессионную функцию трех переменных , а результаты наблюдений можно записать как

Y	37	24	25	39	42	43	22	27	27	30	33	33	41	35	31	45
X	25	14	19	27	33	31	12	16	28	13	18	19	24	21	17	31
Z1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
Z2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1

Продолжение таблицы с данными:

Y	45	30	40	33	32	22	20	18	25	28	35	32	27	26	31
X	29	16	27	22	21	16	15	11	19	27	31	29	22	19	26
Z1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Z2	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Решая систему нормальных уравнений, построенную по этим данным, находим уравнение линейной множественной регрессии в виде:

.

Тесты

1. Системами эконометрических уравнений являются:

а) системы одновременных уравнений;

б) системы рекурсивных уравнений;

в) системы нормальных уравнений;

г) системы независимых уравнений.

2. Система одновременных уравнений отличается от других ви­дов эконометрических систем тем, что в ней:

а) эндогенная переменная одною уравнения находится в дру­гом уравнении системы в качестве фактора;

б) одни и те же эндогенные переменные системы в одних урав­нениях находятся в левой части, а в других уравнениях — в правой части;

в) каждая эндогенная переменная является функцией одной и той же совокупности экзогенных переменных.

3. МНК позволяет получить состоятельные и несмещенные оценки параметров системы:

а) рекурсивных уравнений;

б) одновременных уравнений:

в) независимых уравнений.

4. Экзогенные переменные модели:

а) датируются предыдущими моментами времени;

б) являются независимыми и определяются вне системы;

в) являются зависимыми и определяются внутри системы.

5. Выберите аналог понятия «эндогенная переменная»:

а) результат;

б) фактор;

в) зависимая переменная, определяемая внутри системы:

г) предопределенная переменная.

6. Если структурные коэффициенты модели выражены через прицеленные коэффициенты и имеют более одного числового зна­чения, то такая модель:

а) сверхидентифицируемая;

б) неидентифицируемая;

в) идентифицируемая.

7. Количество структурных и приведенных коэффициентов оди­наково в модели:

а) сверхидентифицируемой;

б) неидентифицируемой:

в) идентифицируемой.

8. Найдите правильную последовательность шагов алгоритма косвенного МНК:

а) I. Приведенная форма модели преобразуется в струк­турную форму.

II. Параметры структурной формы модели оцениваются с помощью МНК.

III. Структурная форма модели преобразуется в приве­денную форму;

б) I. Параметры приведенной формы модели оцениваются с помощью МНК.

II. Приведенная форма модели преобразуется в струк­турную форму.

III. Структурная форма модели преобразуется в приве­денную форму:

в) I. Структурная форма модели преобразуется в приве­денную форму.

II. Параметры приведенной формы модели оценивают­ся с помощью МНК.

III. Приведенная форма модели преобразуется в струк­турную форму.

9. Экзогенные переменные модели:

а) датируются предыдущими моментами времени;

б) являются независимыми и определяются вне системы;

в) являются зависимыми и определяются внутри системы.

10. Найдите правильную последовательность шагов алгоритма применения двухшагового МНК:

а) I. Получение по соответствующим приведенным урав­нениям теоретических значений эндогенных перемен­ных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.

II. Процесс опенки параметров сверхидентифицируемого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных.

III. Преобразование структурной формы модели в приведенную.

IV. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК:

б) I. Преобразование структурной формы модели в при­веденную.

II. Процесс оценки параметров приведенной формы с помощью МНК.

III. Получение по соответствующим приведенным урав­нениям теоретических значений эндогенных перемен­ных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.

IV. Процесс оценки параметров сверхидентифицируе­мого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных;

в) I. Процесс оценки параметром приведенной формы с помощью МНК.

II. Получение по соответствующим приведенным урав­нениям теоретических значений эндогенных перемен­ных правой части сверхидентифицируемого уравнения модели.

III. Процесс оценки параметров сверхидентифицируе­мого уравнения модели через теоретические значения эндогенных и фактические значения предопределенных переменных.