9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ 4

Тема: Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1. Основные понятия, формулы и теоремы

1. Условная вероятность [3, гл. 3, § 4].

2. Теорема умножения вероятностей зависимых событий [3, гл. 3, § 5].

3. Формула полной вероятности [3, гл. 4, § 2].

4. Вероятность гипотез. Формула Байеса [3, гл. 4, § 3].

2. Основные навыки и умения

1. Знать определение условной вероятности.

2. Уметь доказать теорему умножения зависимых событий.

3. Уметь доказать формулу полной вероятности.

4. Уметь доказать формулу Байеса.

5. Уметь применять теорему умножения, формулу полной вероятности и формулу Байеса при решении задач.

3. Контрольные вопросы

1. Дайте определение условной вероятности.

2. Какие события называются независимыми?

3. Дайте определение произведения событий.

4. Сформулируйте теорему умножения вероятностей зависимых событий.

5. Дайте определение полной группы событий.

6. Напишите формулу полной вероятности.

7. Напишите формулу Байеса.

4. Типичные задачи

1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

2. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взяли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

4. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в 1-ой, 2-ой и 3-ей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из 3-ей партии.

5. Ответы к задачам

1. . 4.2. . 4.3. Вероятнее, что винтовка была без оптического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптического прицела, равна ; с оптическим прицелом ). 4.4. .

6. Примеры решения задач по теме занятия

1. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шара, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором – черный (событие ) и при третьем - синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании (А) Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т.е. условная вероятность (В) Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т.е. условная вероятность (С)

Искомая вероятность

2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна , для второго - , для третьего - . Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение. Здесь - вероятность попадания в цель для первого стрелка, - вероятность попадания в цель для второго стрелка, - вероятность попадания в цель для третьего стрелка.

События и независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

3. Два стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна , для второго - . Найти вероятность того, что:

а) оба стрелка попадут в мишень;

б) оба стрелка промахнутся;

с) только один стрелок попадет;

г) хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Пусть событие означает, что первый стрелок попал в мишень, событие - попал второй. По условию , .

а) Пусть событие - оба стрелка попали в мишень, тогда . Поэтому, учитывая независимость событий и , по теореме умножения вероятностей имеем

б) Перейдем к противоположным событиям, которые состоят в том, что первый стрелок промахнулся , второй стрелок промахнулся . Тогда событие означает, что оба стрелка промахнулись

с) Событие - только один стрелок попал можно представить в виде . События и несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

г) Вероятность появление хотя бы одного из несовместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий . Пусть событие - хотя бы один стрелок попал. Тогда

4. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Обозначим через событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: - белых шаров нет, - один белый шар, - два белых шара.

Поскольку имеются три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице, то вероятность каждой из гипотез равна , т.е. P(B₁)=Р(В₂)=Р(В₃)

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, (А)

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, (А)

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, (А)

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

5. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие В₁) равна Р(В₁) = 0,4, по интегральному исчислению (событие В₂)  Р(В₂) = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то (А) = 0,9, (А) = 0,5. Теперь по формуле полной вероятности имеем Р(А) =

6. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором  три белые и одна серая, в третьем  две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение. Обозначим В₁  выбор первого ящика, В₂  выбор второго ящика, В₃  выбор третьего ящика, А  извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(B₁)=Р(В₂)=Р(В₃) Если выбран первый ящик, то . Аналогично, , . Наконец,

7. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение. Введем обозначения для событий: А  случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание; В₁  человек придерживался специальной диеты; В₂  человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Согласно формуле полной вероятности

и, наконец, в силу формулы Байеса искомая вероятность