3. Модели развития вирусных эпидемий в информационно-телекоммуникационных сетях
Известный антрополог Фрэнсис Гэлтон, заинтересовавшись выживанием благородных фамилий в XIX веке, предложил математическую теорию эпидемий. Гэлтон ввел ветвящийся процесс, который стал известным как модель Гэлтон-Уотсона, так как ранее Генри Уильям Уотсон получил близкие теоретические результаты [171].
В
этой модели, поколение r составляют люди
.
Всякий человек каждого поколения с
некоторой вероятностью
,
рождает k
потомков, которые далее будут производить
следующее поколение. Начиная с одного
человека в I
поколении, вероятность
исчезновения
популяции
определяется в модели следующим образом
|
(3.1) |
,
где
– непрерывно переменный параметр,
который приводит к принципиально
различному поведению населения в
эпидемическом контексте: продолжает
размножения или изживает себя. Варианты
этой простой модели показывают временные
и пространственные аспекты.
Для основного ветвящегося процесса с численностью населения n уместно обозначить как число инфекционных людей в раунде r эпидемического процесса. В каждом раунде всякий такой инфекционный человек, с некоторой вероятностью , может заразить k других особей. Эта выборка населения k выбрана наугад из целой системы.
Известны два варианта эпидемиологической модели, основанные на числе раундов t:
модель «заражения и восстановления», в которой процесс пытается инфицировать других в течение нескольких раундов и затем восстанавливается и прекращает заражение;
модель «постоянного заражения», в которой зараженные процессы остаются заразными навсегда.
Интерес представляют следующие параметры эпидемиологической модели:
количество зараженных процессов
к раунду r;пропорция зараженных процессов
населения, инфицированных после данного
числа раундов r;вероятность атомной инфекции: вероятность того, что все процессы заражены после данного числа раундов
P( |
(3.2) |
).
По модели «постоянного заражения» инфицированные процессы пытаются заразить f других процессов в каждом раунде. Тогда ожидаемая часть зараженных процессов после r раундов составит:
|
(3.3) |
где
отношение зараженных процессов к
незараженным в каждом раунде увеличивается
по экспоненте в среднем темпе
.
По модели «заражения и восстановления» при инфицировании процессы остаются заразными только в течение нескольких циклов, а затем восстанавливаются. К примеру, в ИТКС каждый процесс осуществляет взаимодействие путем передачи сообщения определенное количество раз – например, после получения сообщения в третий раз – не будет предпринимать дальнейших действия, даже при последующем приеме копий одного и того же сообщения.
3.1. Математическая модель развития вирусных алгоритмов на примере sir-модели
Модели SI, SIR, SIRS являются наиболее распространенными моделями в классической эпидемиологии (рис. 3.1). Данные модели предполагают, что каждый процесс в популяции может находиться в одном из нескольких состояний и с течением времени переходить из одного состояния в другое.
Рис. 3.1. Схематичное изображение SIR, SIS, SIRS-моделей
Интерпретируем классические эпидемиологические модели под модели развития вирусных эпидемий в ИТКС. Для описания необходимых параметров моделей будем использовать следующие обозначения:
– N – число узлов в ИТКС;
– S – группа узлов системы, восприимчивая к воздействию вредоносного ПО;
– I – группа узлов системы, заражённые вредоносным ПО и способные к воспроизведению вирусного воздействия;
– R – группа узлов системы, которые получили активный иммунитет после воздействия антивирусных методов противодействия эпидемиям и стали невосприимчивыми к заражению;
– 
– параметр
инфицированности;
– r – вероятность восстановления единичного зараженного процесса;
– 
– параметр иммунизации;
– 
– параметр, определяющий число вторичных
заражений, произошедших от первичной
инфекции.
Эпидемиологические модели базируются на дифференциальных уравнениях, описывающих зависимость количества зараженных процессов от времени. Также, построение моделей будем производить на предположении о том, что контакты в ИТКС могут быть представлены полносвязным графом.
Рассмотрим в качестве примера SIR-модель, которая состоит из трех видов процесса:
– восприимчивый (S);
– зараженный (I);
– восстановленный (R).
Модель SIR, как и другие (рис. 3.1), учитывает движение эпидемических параметров с непрерывным течением времени. В основе модели лежит предположение, что столкновения между зараженными и восприимчивыми процессами происходят при уровне, пропорциональном их соответствующим числам. Уровень новых инфекций может быть определен как SI, где – параметр инфицированности. Зараженные процессы восстанавливаются с постоянной вероятностью в любое время, которую на единичный процесс будем обозначать r. Таким образом, темп восстановления будет обозначаться rI. Графически модель SIR можно представить с помощью рис. 3.2.
Рис. 3.2. Схематичное изображение механизма распространения инфекции по модели SIR
Алгебраически SIR-модель представляет собой систему дифференциальных уравнений:
|
(3.4) |
где SI – уровень возникновения новых инфекций;
rI – темп восстановления.
При построении SIR-модели для ИТКС, уместно рассматривать умеренную эпидемию внутри закрытой информационно-телекоммуникационной системы, т.е. когда нет никакой иммиграции или эмиграции процессов. В этом случае, для системы уравнений справедливо уравнение баланса:
|
(3.5) |
,
или для динамических характеристик:
|
(3.6) |
Основной параметр эпидемиологии – репродуктивное отношение , которое представляет собой среднее число повторной передачи вредоносной информации от одного зараженного процесса. Другими словами, характеризует начальный темп распространения болезни (инфекции)
|
(3.7) |
Фактически, параметр определяет число вторичных заражений, произошедших от первичной инфекции, т.е. определяет число процессов которые будут заражены до того момента, как первичный процесс перейдёт в состояние «восстановленный» элемент.
В
случае, когда
, на каждом следующем шаге всякий процесс
будет заражать меньше одного из
восприимчивых процессов. Тогда
эпидемиологический процесс будет
останавливаться.
В
случае если
, каждый инфицированный процесс будет
заражать более одного из числа
восприимчивых, в результате чего
эпидемиологический процесс будет расти.
Кроме того, учитывая временные рамки вирусной эпидемии, выход из строя компонент системы также не учитывается, а все инфицированные процессы, как предполагается, в конце концов восстанавливаются.
Следует заметить, что SIR-модели как, впрочем, модели SI и SIS (рисунок 3.1), носят непрерывный характер. Однако переходы процессов (элементов) ИТКС из одного состояния в другое (S, I, R) явно дискретны.
В этом контексте рационально построить и исследовать именно дискретные модели процесса развития информационных эпидемий.
Для описания моделей реализации вирусной эпидемии рассмотрим подход, согласно которому распространение вируса в ИТКС оценивается с помощью математического ожидания М(X) (усредненные оценки), моды Мo(X) (пиковые оценки) или математического ожидания М(X) с среднеквадратичным отклонением D(X) (диапазонные или интервальные оценки) количества зараженных элементов X системы в зависимости от потребностей анализа. Для применения такого подхода необходимо учитывать, что ИТКС является закрытой, т.е. нет никакой иммиграции или эмиграции объектов системы. Кроме того, учитывая временные рамки вирусной эпидемии, будем считать, что элементы не выбывают из системы, в процессе распространения заражения.
Данные оценки позволяют оценить эпистойкость ИТКС.
Мгновенная эпистойкость – отношение количества незараженных элементов системы к общему количеству восприимчивых к заражению элементов анализируемой ИТКС в заданный момент времени.
Диапазонная эпистойкость – отношение количества незараженных элементов системы к общему количеству восприимчивых к заражению элементов анализируемой ИТКС в заданном интервале времени.
Рассмотрим модели развития вирусной эпидемии, в которой распространение начинается с заражения одного элемента. При этом будем исходить из наихудшего варианта, при котором на каждом этапе процесса воздействию будут подвергаться только незараженные и невосстановленные элементы.