Задачи для подготовки к контрольным работам (с ответами)
1. Из города А в город В ведут 4 дороги, а из города 5 в город С ведут 3 дороги. Сколько путей, проходящих через город В, ведет из А в С?
2. Сколько имеется трёхзначных чисел, которые делятся на пять?
3. Бросаем три игральные кости. На какую сумму очков разумно поставить?
4. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря равно 5, равно 31?
5. Из полной игры лото наудачу извлекается один бочонок. На бочонках написаны числа от 1 до 90. Какова вероятность того, что на извлеченном бочонке написано простое число?
6. Монета и игральная кость брошены одновременно. Каким образом можно описать все способы падения? Подсчитать их число.
7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол п мужчин и п женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
8. В турнире, где разыгрывается приз по олимпийской системе, участвуют 16 команд. Какова вероятность того, что две сильнейшие команды встретятся в финале?
9. После перетасовки чётырех тузов из колоды карт берутся два из них. Как с помощью этих тузов имитировать бросание игрального кубика?
10. Сколько делителей
имеет число
,
где тi –
различные простые числа, а i
– натуральные числа? Чему равна
сумма делителей?
11. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?
12. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз?
13. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом?
14. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 учебников по комбинаторике, 4 – по алгебре и 3 – по математическому анализу, если учебники по каждому предмету одинаковые?
15. На физтехе работают 76 преподавателей. Из них 49 знают английский язык, 32 – немецкий и 15 – оба языка. Сколько преподавателей на физтехе не знает ни английского, ни немецкого языков?
16. В цветочном магазине продаются цветы четырёх сортов. Сколько можно составить различных букетов из пяти цветов в каждом?
17. В азбуке Морзе буквы представляются последовательностями тире и точек. Сколько символов потребуется, чтобы закодировать буквы русского алфавита?
18. Имеются три листа бумаги; некоторые из них разрезаются на три части, несколько новых кусков – на три более мелкие части и т. д. Сколько всего получится листков, если всего разрезано было k листков?
19. Составьте множество трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 2 и 5. Сколько таких чисел?
20. В волейбольном турнире участвуют 19 команд. Докажите, что в любой момент найдется команда, сыгравшая четное число матчей.
21. Найдется ли граф с пятью вершинами, степени которых все различны между собой, т. е. равны 0, 1, 2, 3, 4?
22. Участники областного студенческого лагеря актива, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что:
а) всего было передано чётное число конвертов;
б) число студентов, обменявшихся конвертами нечётное число раз, чётное.
23. Девять школьников участвуют в шахматном турнире в один круг. В определенный момент выясняется, что в точности двое сыграли одинаковое число партий. Докажите, что тогда либо в точности один школьник ещё не сыграл ни одной партии, либо в точности один сыграл все партии.
24. Сколько существует неизоморфных деревьев с семью вершинами?
25. Построить вероятностное дерево вынимания «дублей» при извлечении двух «костей» из полного набора домино.
26. Принял бы ты приглашение участвовать в игре, в которой ты и твой соперник попеременно выбираете (без возвращения) шар из урны с 7 чёрными и одним белым шаром? Побеждает тот, кто первым извлек белый шар. Является ли право первым выбирать шар привилегией?
27. Извлекаем последовательно три карты с возвратом (без возврата) из колоды в 52 карты. Построить вероятностное дерево вынимания козырной карты. Какова вероятность извлечения по крайней мере одной козырной карты?
Ответы
1. 12
путей. 2.
180. 3.
На 11. 4.
7/365. 5.
4/15. 6.
12. 7. 2(n!)2.
8.
8/15. 9.
Выбирать, например, две карты из любых
четырех. 10.
.
11.
3360. 12.
254186856; 189674616; 112195200.
13. 40320.
14. 27720.
15. 10.
16. 56.
17. 5. 18.
2k+3.
19. 8.
20. В противном случае
сумма степеней всех вершин соответствующего
графа будет нечётным числом.
21. Нет. 22.
Определите четность суммы степеней
всех вершин графа. 24.
Существует ровно 11
деревьев. 25.
26. Не
является. 27.
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1997.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 1997.
4. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1989.
5. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Под редакцией А.В. Ефимова. М.: Наука, 1984.
6. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике./Под редакцией А.А. Свешникова. М.: Наука, 1965.
7. Березина Л.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979.
ОГЛАВЛЕНИЕ
|
Стр. |
Введение |
1 |
1. Несколько примеров из комбинаторики |
1 |
2. Графы |
3 |
Вопросы для самоконтроля |
9 |
3. Принцип сложения и принцип умножения |
9 |
4. Размещения, перестановки и сочетания без повторений |
11 |
5. Размещения, перестановки сочетания с повторениями |
18 |
Задачи для самостоятельного решения |
24 |
Задачи для подготовки к контрольным работам (с ответами) |
25 |
Ответы |
28 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
|
29 |