3.3.6.5. Многомерные функции полезности

В большинстве задач принятия решений, в том числе в задачах анализа рисков, исходы оцениваются не одним, а многими критериями. В условиях вероятностной неопределенности сравнение вариантов многокритериальных решений сводится к сопоставлению по предпочтительности соответствующих распределений вероятностей на множестве векторных оценок (значений векторного критерия). Разумеется, и на такие задачи полностью распространяются основные положения теории полезности, касающиеся, в частности, существования функции полезности. Однако при этом функция полезности оказывается многомерной, то есть имеющей векторный аргумент.

С формальной точки зрения к многокритериальным задачам тоже приложи- мы методы построения (одномерной) функции полезности, описанные выше (если рассматривать векторную оценку как нечто неделимое). Однако непосредственное использование таких методов обычно невозможно в силу того, что лицо, принимающее решение, не в состоянии сравнивать лотереи с многомерными (многокритериальными) исходами. Основным путем построения многомерной функции полезности является декомпозиция многомерной структуры предпочтений на ряд подструктур меньшей размерности (в частности, одномерных) и, соответственно, представление многомерной функции полезности в виде составной (сложной) функции - «свертки» малоразмерных функций полезности. Структура такой сложной функции зависит от взаимосвязей подструктур структуры предпочтений. При такого рода декомпозиции построение многомерной функции полезности сводится к построению соответствующих маломерных (проще всего, конечно, одномерных) условных функций полезности, а также оцениванию ряда числовых параметров, определяемых конструкцией составной функции свертки.

Декомпозиция многомерной структуры предпочтений ЛПР на множестве вероятностных распределений случайной векторной оценки осуществляется за счет использования специфических особенностей этой структуры. Обычно эти особенности связаны с какими-либо видами независимости одних (групп) критериев от других. Поскольку условия независимости не всегда выполняются в полном объеме, указанный подход стали обобщать за счет «расщепления» шкал (точнее, носителей шкал) критериев и соответствующего разложения структуры предпочтений на подструктуры, для каждой из которых справедливы определенные виды независимости. С другой стороны, в последнее время развивается несколько иной подход к построению многомерной функции полезности, связанный с изучением одних (групп) критериев от других и соответствующих им форм составных функций свертки. Однако этот подход еще не доведен до требуемого практикой уровня развития. Существуют и принципиально иные подходы к моделированию многомерных полезностей. Они включают целенаправленную перестройку самой исходной математической модели ситуации на основе содержательного анализа конкретной проблемы принятия решений. Примером служит подход, предполагающий расщепление исходных критериев, - представление их через некоторые дополнительно вводимые, так чтобы преобразованная структура предпочтений обладала некими свойствами независимости.

Рассмотрим основные результаты декомпозиции структуры предпочтений и методы получения информации о предпочтениях, необходимой для построения соответствующих многомерных функций полезности.

Функция полезности выражает предпочтения ЛПР на множестве случайных исходов и поэтому должна строиться на основе информации о таких предпочтениях. При этом конкретный вид информации определяется допущениями, выдвигаемыми относительно особенностей структуры предпочтений (то есть конкретными видами независимости для различных факторов), и соответствующим функциональным представлением полезности [136].