- •Часть 2
- •Методические указания
- •Часть 2
- •Введение
- •Занятие № 15
- •Интегрирование дифференциальных
- •Биномов. Подстановки чебышева.
- •Подстановки эйлера
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятия № 16 приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 17 условный экстремум. Метод множителей лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения.Функции в замкнутой области
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •17.3. Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие № 18 дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 19
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 20
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 21 дифференциальнЫе уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Основные понятия
- •I. Уравнения вида
- •II. Уравнения вида , явно
- •III. Уравнения вида , явно
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 22 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 23
- •Решение Систем дифференциальных уравнений (метод исключения)
- •Литература: [1], с. 103-107.
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 24 Понятие о теории устойчивости ляпунова
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 25. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •В авторской редакции
Занятие № 22 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Литература: [1], c.79-80, 92-94; [3], c.135.
Указание. Перед изучением этой темы повторить тему "Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка".
Основные понятия
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют вид
.
Общее решение таких уравнений представляется в виде суммы , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.
Для решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение
и находятся его корни , , , . По характеру корней записываются частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что
а) каждому действительному однократному корню соответствует частное решение ;
б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных решения и ;
в) каждому действительному корню кратности соответствует линейно независимых частных решений , , , ;
г) каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствует частных решений
, , , ,
, , , .
Найдя все линейно независимых частных решений , , , , строим общее решение однородного уравнения
,
где , , , – произвольные постоянные.
В тех случаях, когда правая часть имеет специальный вид, частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод сводится к следующим двум случаям.
Случай 1. Правая часть , где – многочлен степени .
а) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , где – многочлен степени с неизвестными коэффициентами.
б) Если является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде , где – многочлен степени с неизвестными коэффициентами.
В частности, если , т.е. , то ищется в виде (если не является корнем характеристического уравнения) или в виде (если является корнем характеристического уравнения кратности ).
Случай 2. .
а) Если не являются корнями характеристического уравнения, то , где .
б) Если – корни характеристического уравнения кратности , то .
В частности, если , т.е. , то частное решение ищется в виде (если не являются корнями характеристического уравнения) или в виде (если числа – корни характеристического уравнения кратности ).
Контрольные вопросы и задания
1. Какова структура общего решения неоднородного уравнения?
2. Что такое характеристическое уравнение и как оно составляется для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
3. Как строится общее решение однородного уравнения в зависимости от характера корней характеристического уравнения?
4. Какой вид правой части неоднородного уравнения называют специальным?
5. Как по виду правой части записывается частное решение неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами?
6. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного уравнения?