Характеристики качества распознавания
Основными характеристиками распознавания являются ошибки распознавания и средние потери.
Например,
при
принимается
гипотеза о наличии состояния
.
Вероятность правильного
решения при этом
,
а вероятность ошибки
.
Средняя
вероятность ошибки
для всех возможных реализаций
.
Из
этого видно, что
зависит
от выбора областей
,
т.е. от разбиения пространства признаков.
Если ошибки распознавания отдельных состояний неравноценны и с ними можно связать определенные потери, то для характеристики качества распознавания могут быть приняты средние потери.
Обозначим
через
положительное число, определяющее
условные
потери
(«штрафы») от
ошибки в результате заключения состояния
а, в то время как источник информации
находится в другом состоянии
.
При попадании в область потери составят
,
а средние потери:
,
где
‑ условные
риски
распознавания,
‑ средний
риск
распознавания.
Статистические критерии обнаружения
Ошибка
может быть уменьшена, если суждение о
состоянии
выносится
не по
одному отсчету информационного параметра
х,
а по серии отсчетов
,
которую можно рассматривать как
вектор-реализацию
в
пространстве признаков X.
Статистическая связь вектора
с состояниями
определяется
условными плотностями распределения
.
Пространство
признаков разбивается на две области
и
.
Граница областей носит название
«решающей
поверхности».
В процессе обнаружения решающее
устройство определяет какой
области принадлежит вектор-реализация
и делает заключение о состоянии
источника.
В памяти решающего устройства должны
храниться данные о решающей поверхности.
Поскольку эта поверхность многомерна,
ее задание и хранение встречает
значительные трудности.
Однако этот многомерный случай можно привести к одномерному путем перехода к новой переменной, функционально связанной с вектором .
Эта переменная носит название отношения или коэффициента правдоподобия и задается соотношением
,
где
‑ многомерная плотность распределения
вероятностей.
Вместо
уравнения решающей поверхности достаточно
запомнить одно число
,
с которым сравнивается
текущее значение
.
Если
,
то имеем
и
принимается гипотеза о наличии состояния
.
Однако полученные упрощения требуют некоторого изменения процедуры восприятия. Уравнение границы
определяется соотношением
.
Критерий минимального риска Байеса
Для его использования должны быть известны
и
условные потери
.
Средний риск для задачи обнаружения будет
.
Уравнение решающей поверхности определяется выражением
.
Отношение правдоподобия из уравнения решающей поверхности имеет вид
.
Таким образом, в процессе обнаружения для полученного вектора подсчитывается
,
которая сравнивается
с постоянной величиной
.
Если , то было состояние , риск распознавания будет минимален.
В одномерном
случае, когда вектор
есть один отсчет параметра х,
решающая
поверхность представляет точку
пересечения функций
и
(рис. 7.3).
Рис. 7.3
Критерий идеального наблюдателя (Зигерта-Котельникова)
В этом случае
принимают
,
а значение коэффициента правдоподобия
будет
.
Критерий максимального правдоподобия Фишера
При неизвестных
априорных вероятностях
и
полагают
,
что предполагает
.
Минимаксный критерий
Данный критерий более осторожен при неизвестных и , чем критерий Фишера.
Для каждого
фиксированного
ищется наихудшее распределение:
,
при котором средний риск будет максимален:
.
И для этих распределений определяется через минимизированный риск:
.
Значения
и
,
при которых
,
опуская их вывод, могут быть определены
из уравнений
,
.
Критерий наблюдателя Неймана–Пирсона
Средняя
вероятность ошибки (
),
как у Зигерта-Котельникова:
,
где
‑ вероятность ошибки первого рода
(вероятность ложной тревоги, риск
заказчика),
‑ вероятность
ошибки второго рода (вероятность пропуска
сигналов, риск изготовителя).
Часто ошибки
первого и второго рода могут привести
к осуществлению различных последствий,
которые невозможно отделить в виде
потерь, например, когда одна из ошибок
приводит к непредсказуемым катастрофическим
последствиям. Такую ошибку необходимо
ограничить некоторой очень малой
величиной
,
а вторую сделать возможно меньшей
.
Величина находится из выражения
.