ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра технологических и автоматизированных

систем электронного машиностроения

Методические указания

к лабораторным работам № 1—4

по дисциплине «Основы теории надежности»

для студентов специальности 210107

«Электронное машиностроение»

очной формы обучения

Воронеж 2012

Составители: д-р техн. наук С.А. Акулинин,

ст. преп. С.А. Минаков

УДК 621.382

Методические указания к лабораторным работам № 1—4 по дисциплине «Основы теории надежности» для студентов специальности 210107 «Электронное машиностроение» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. С.А. Акулинин, С.А. Минаков. Воронеж, 2012. 28 с.

Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения о вероятности безотказной работы и интенсивности отказов, определительных испытаниях на надежность, моделировании накопления заряда в МНОП-структуре, исследовании влияния процесса туннелирования носителей заряда в диэлектрик МДП-структур на надежность МДП-транзисторов.

Предназначены для оказания помощи студентам при выполнении лабораторных работ и закреплении теоретических сведений по дисциплине «Основы теории надежности».

Методические указания выполнены в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и находятся в файле Надежность2.doc.

Ил. 17. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент д-р техн. наук, проф. К.А. Разинкин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р техн. наук, проф. О.Н. Чопоров

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Ó ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2012

Лабораторная работа № 1 Оценивание плотности распределения наработки до отказа, вероятности безотказной работы и интенсивности отказов по эмпирическим данным

Цель работы – ознакомление с различными формами распределения Вейбулла, графическими методами оценки параметров распределения, методами статистического оценивания и критериями согласия.

1. Теоретические основы

При испытаниях на надежность очень широко используется распределение Вейбулла. Функция трехпараметрического распределения Вейбулла случайной величины , определяющая вероятность отказа системы к моменту времени t, имеет вид :

t , (1)

где >0, >0, 0. Параметр называется параметром формы;  называется параметром масштаба или ресурсной характеристикой, а - параметром сдвига или минимальной нарабаткой. В случае двухпараметрического распределения Вейбулла минимальная наработка равна нулю, а функция распределения имеет вид

, t0 , (2)

В дальнейшем будем использовать это распределение, т.к. путем простого линейного преобразования трехпараметрическое распределение всегда можно превратить в двухпараметрическое.

Вероятность безотказной работы или вероятность того, что невосстанавливаемая система будет выполнять требуемую функцию в заданный момент времени t, можно записать в виде

, t 0. (3)

Дифференцируя выражение (2), получаем плотность распределения Вейбулла

f (t;,) = (/)(t/)^-1exp[-(t/)^] , t  0. (4)

Интенсивность отказов

( t )= f(t)/R(t)= (/)(t/)^-1 , t0 (5)

убывает во времени при  <1 , возрастает при >1 и равна величине 1/ при =1 (экспоненциальное распределение). Таким образом, экспоненциальное распределение является частным случаем вейбуловского распределения.

k- момент вейбуловского распределения имеет вид

 ^‘ _k =E( t^k ) = ₀^t^k(/)(t/)^-1exp[ -(t/)^] dt. (6)

Введём обозначение u =(t/)^, тогда du = (/)(t/)^-1dt и

 ^‘ _k =^k ₀^u ^k/exp[-u] du=^kГ(1+k/), (7)

где Г- гамма – функция.

Следовательно, математическое ожидание распределения Вейбулла имеет вид

=Г(1+1/) , (8)

а дисперсия –

²=²[Г(1+2/)-Г²(1+1/)]. (9)

При увеличении  математическое ожидание распределения Вейбулла стремится к ресурсной характеристике  , а дисперсия стремится к нулю.

При  <1 распределение Вейбулла принимает форму гиперэкспоненциального распределения. При  = 3,5 это распределение приблизительно симметрично относительно центра распределения  , а при  > 3,5 распределение смещается вдоль оси t относительно  и приобретает отрицательную асимметрию.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения Вейбулла приближаются к нулевым значениям (нормальное распределение), при >3,5…4,0. Таким образом , в ряде случаев распределение Вейбулла можно аппроксимировать нормальным распределением.

Параметр масштаба позволяет расположить распределение вдоль оси t. Это можно видеть, рассматривая функцию распределения.

Подставляя t=0 в формулу ( 2) , получаем

F(t=0) = 1-e^-1= 0.632. (10)

Таким образом, для любого распределения Вейбулла вероятность появления отказа до момента  равна 0,632. Поэтому  и называется ресурсной характеристикой.

Графическое оценивание. Графическое оценивание параметров и графическое прогнозирование находят широкое применение на практике. По существу, для применения метода графического оценивания необходимо иметь удобное преобразование функции распределения, приводящее ее к линейному виду.

Рассмотрим функцию распределения Вейбулла (2). После перестановки членов и двойного логарифмирования получаем

ln{-ln[1-F(t) ] } =  ln t -  ln  . (11)

Приводя уравнение к стандартной форме для зависимой и независимой переменных, получаем

ln t =  ^-1 ln{-ln[1-F(t) ] }+ ln . (12)

Это уравнение вида Y= (1/)X+A и его можно представить в виде прямой на вероятностной бумаге в координатах X и Y .

Вероятностную бумагу для распределения Вейбулла можно построить , обозначив оси системы координат Y= ln t и Х= ln{-ln[1-F(t)]}. Оси обычно меняют местами , и тогда  является угловым коэффициентом прямой. Такая вероятностная бумага для распределения Вейбулла показана на рисунке 1.

Значения наработки до отказа откладываются по оси абсцисс, а оценка значения функции распределения наработки до отказа в i –й по порядку момент появления отказа t_i проводится по величине математического ожидания i – й порядковой статистики в выборке объемом n , равного i /(n+1), а в случае малой выборки – по медиане порядковой статистики по уравнению

F^{^}(t)=(i-0.3)/(n+0.4). (13)

Для определения параметров аппроксимации может использоваться метод наименьших квадратов.

Очевидно , что параметр формы  можно оценить по угловому коэффициенту прямой. Ресурсную характеристику v можно оценить, имея в ввиду, что F(t=)=0.632. проецируя на ось абсцисс точку прямой, соответствующую значению 63,2% на оси ординат, получаем оценку параметра .

9 Ра спре д еление 8
9 1 5
9 0
8 2 0
7 0
6 0
5 3 0
4 0
3 0
2 4 0						B			.A
10
5
4
3
2
1
0.5	10	2	3	4	5	6	8		100	2	3	4	5	6	7	8

Наработка до отказа, отн . ед.

Рис. 1. Вероятностная бумага для распределения Вейбулла :

1. -95% ранг;

2. -линия генеральной совокупности, имеющей распределение Вейбулла ;

3. –5% ранг;

4. – выборочное значение .

Непараметрические доверительные интервалы. Распределение порядковых статистик можно использовать так же для построения доверительных пределов на вероятностной бумаге. Для 0,50 доверительная граница определяется в виде

w_= [i/(n-i+1)]/[F_{1-.2(n-i+1).2i}+i/(n-i+1)], (14)

а для < 0.50 в виде

w_= [i/(n-i+1)][F_{.2i.2(n-i+1)}/{1+[i/(n-i+1)]F_.2i.2(n-i+1) , (15)

Где F_.n1.n2 -- случайная величина, имеющая F- распределение с n₁ и n₂ степенями свободы , что Р(F_n1.n2 F_.n1.n2)= . Здесь w_ такая случайная величина , имеющая распределение порядковых статистик с параметрами n и i , что Р(р w_)= . Эти пределы называются непараметрическими потому ,что информация о виде распределения при их построении не используется .

Таблица 1.