Примеры решения задач
Пример
1. Разложить
в окрестности точки
в ряд Тейлора.
Решение.
Представим
в виде суммы двух дробей:
и воспользуемся разложением в ряд
,
сходящемся в круге
,
подставляя вместо
для первой дроби
,
а для второй -
.
Получим ряд Тейлора
,
который сходится в круге
.
Пример
2. Разложить
в ряд Лорана функцию
в областях: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Представим
в виде суммы двух дробей:
.
Если
,
то
,
а если
,
то
.
Аналогично, при
имеем разложение
,
а если
,
то
.
Отсюда следует:
а)
в круге
.
Это ряд Тейлора;
б)
в кольце
.
Ряд Лорана содержит как положительные,
так и отрицательные степени
;
в)
в кольце
.
Ряд Лорана содержит только отрицательные
степени
.
Пример
3. Определить
характер особой точки
для функций: а)
,
б)
,
в)
.
Решение.
а) Используя разложение в ряд Тейлора
,
получим, что функция, стоящая в знаменателе
дроби, имеет в точке
нуль третьего порядка. Отсюда следует,
что функция
имеет в точке
полюс третьего порядка.
б)
Разложим
в ряд Лорана:
.
Отсюда видно, что главная часть ряда
Лорана содержит бесконечно много членов.
Поэтому для функции
точка
является существенно особой.
в)
Используя разложение в ряд Тейлора для
функции
в окрестности точки
,
получим
.
Лорановское разложение функции в
окрестности точки
не содержит главной части, поэтому эта
точка является устранимой особой точкой.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Используя разложение основных элементарных функций, разложить в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Доказать, что справедливы формулы:
а)
при
;
б)
при
,
где
и
- заданные комплексные числа. Указание:
использовать при доказательстве
разложение функции
в ряд (геометрическую прогрессию).
Разложить в ряд Лорана следующие функции в указанных областях:
а)
в кольце
и в кольце
;
б)
в кольцах
и
;
в)
в кольце
;
г)
в кольцах
и
.
Найти особые точки функции и определить их тип:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.
Занятие 35-36 вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применние вычетов к вычислению интегралов
, с. 132-137; , с. 70-81; , с. 172-179.
Контрольные вопросы и задания
Что называется вычетом функции относительно особой точки?
Чему равен вычет в устранимой особой точке и почему?
Как вычисляется вычет в простом и кратном полюсах?
Как находится вычет в существенно особой точке?
Сформулируйте основную теорему о вычетах. Как применяется теория вычетов к вычислению интегралов по замкнутым контурам?
Сформулируйте лемму Жордана. Как применяются вычеты при вычислении несобственных интегралов?
Примеры решения задач
Пример
1. Найти
вычеты функции
в ее особых точках.
Решение.
Функция имеет две особые точки:
- простой полюс и
- полюс кратности 2. В случае простого
полюса вычет вычисляется по формуле
.
Для
получаем
.
В случае полюса кратности
вычет вычисляется по формуле
.
Для
и
получаем
.
Пример
2. Вычислить
вычет
в точке
.
Решение.
Для функции
точка
является существенно особой, так как
.
Поэтому
,
где
- коэффициент ряда Лорана при
.
Пример
3. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Подынтегральная
функция
имеет внутри круга
одну особую точку
- полюс первого порядка (рис. 3). Воспользуемся
формулой
.
Получим
.
Далее воспользуемся основной теоремой
о вычетах. Откуда получим
.
Р
ис.
3 Рис. 4
Пример
4. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Подынтегральная функция
имеет внутри круга
одну особую точку
,
которая является существенно особой
(рис. 4). Поэтому для вычисления вычета
в точке
применим формулу
,
где
- коэффициент ряда Лорана при
.
Имеем
.
Так как
,
то
.
Следовательно
.
Пример
5. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Введем функцию
,
которая на действительной оси (
)
совпадает с подынтегральной функцией,
которая является дробно-рациональной.
Функция
имеет в верхней полуплоскости (
)
единственный полюс четвертого порядка
.
Поэтому
,
где
.
Отсюда
.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найти вычеты функции в ее особых точках:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислить интегралы: а)
,
где
;
б)
,
где
;
в)
,
где
;
г)
,
где
.
Вычислить несобственные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет,
коллоквиум.