Раздел III. Введение в математический анализ

1. Понятие функции, её область определения и область значений. График функции. Способы задания функции: а) аналитический (явный, неявный, параметрический); б) табличный; в) графический; г) программирование для ЭВМ. Возрастание и убывание функции, четные, нечетные, периодические функции.

2. Сложная функция. Понятие обратной функции.

3. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

4. Предел переменной величины. Понятие о пределе функции в точке .

5. Основные свойства пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

6. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или для рациональной дроби.

7. Первый замечательный предел и его следствия.

8. Второй замечательный предел и его следствия.

9. Определение непрерывности функции в точке, свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции, составленной из непрерывных функций.

10. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация.

11. Определение непрерывности функции на промежутке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [2, гл I, II ]; [3, гл. IV]; [5, гл. V].

Вопросы программы к контрольной №2

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

1. Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

3. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших порядков.

5. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл и связь с приращением функции. Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

6. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа и .

8. Возрастание и убывание функции на интервале и их связь со знаком первой производной.

9. Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Критические точки функции.

10. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

11. Выпуклость и вогнутость графика функции, их связь со знаком второй производной. Точки перегиба, их необходимое и достаточное условия.

12. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты и их отыскание.

13. Общая схема полного исследования функции, заданной в явном виде.

Литература: [2, гл. V]; [3, гл. VII].

Раздел V. Функции нескольких переменных

1. Определение функции нескольких переменных, её область определения, геометрическое представление области определения функции 2-х и 3-х переменных.

2. График функции 2-х переменных, линии уровня.

3. Частные приращения и частные производные.

4. Частные производные высших порядков, смешанные производные.

5. Полное приращение и полный дифференциал функции в точке.

6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

7. Градиент функции в точке. Производная функции по направлению, формула ее вычисления через градиент и направляющий вектор.

8. Экстремум функции двух переменных, его необходимое и достаточное условия в стационарной точке.

9. Нахождение наибольших и наименьших значений функции, заданной в замкнутой области.

Литература: [2, гл.VIII]; [3, гл. VIII].