Контрольная работа № 4
Задача
1. Дана
функция
двух переменных
и точка
.
Требуется: 1) взять частные производные
в точке
2) Написать уравнение касательной плоскости; 3) выписать градиент и производную по направлению в под углом , где
n – номер варианта.
1.
, 
. 2.
,
.
3.
, 
. 4.
, 
.
5.
, 
. 6.
, 
.
7.
, 
. 8.
, 
.
9.
, 
. 10.
, 
.
11.
, 
. 12.
,
.
13.
, 
. 14.
, 
.
15.
, 
. 16.
, 
.
17.
, 
. 18.
, 
.
19.
, 
. 20.
, 
.
Задача 2. Найдите точки экстремума заданной функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача 3. Вычислить двойной интеграл.
1.
Вычислить
по области
D, ограниченной
кривыми:
.
2.
Вычислить
по области D,
ограниченной кривыми:
.
3.
Вычислить
по области D,
ограниченной прямыми:
,
,
.
4.
Вычислить
по области D,
ограниченной прямыми:
в первой четверти.
5.
Вычислить
по области D,
ограниченной кривыми:
.
6.
Вычислить
по области D,
ограниченной прямыми:
.
7.
Вычислить
по области D,
ограниченной кривыми:
.
8.
Вычислить
по области
,
ограниченной кривыми:
.
9.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена прямыми
,
и гиперболой
.
10.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена кривыми
,
.
11.
Вычислить интеграл
,
где область
ограничена кривыми
,
.
12.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
13.
Вычислить
,
если область
ограничена прямыми
,
и
.
14.
Вычислить
,
если область
ограничена прямыми
,
и
.
15.
Вычислить двойной интеграл
,
где область
определяется неравенствами:
.
16.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
17.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
18.
Вычислить интеграл
,
где
.
Область интегрирования изобразить на
чертеже.
19.
Вычислить
по области D,
ограниченной кривыми:
,
.
20.
Вычислить
по области D,
ограниченной прямыми:
,
,
.
Задача 4. Вычислить криволинейные интегралы.
1.
по параболе
от точки A(2,4)
до точки B(1,1).
2.
где L–
окружность x
= 2cost;
y
= 2sint,
при
положительном
направлении обхода.
3.
, где L
- граница прямоугольника, ограниченного
прямыми
4.
где
LАB
– дуга параболы y
= x2
от
точки A(-1,
1) до точки
B(1,
1).
5.
где LАB
– отрезок прямой AB:
A(-1,0);
B(0,1).
6.
где L
– дуга эллипса: x
= 3cost;
y
= 2sint
при
положительном
направлении обхода.
7.
где L
– отрезок прямой
соединяющий точки
A(0, -2) и B(4, 0).
8.
где
LOА
– дуга кубической параболы y
= x3
от
точки О(0, 0)
до точки
А(1, 1).
9.
где LOB
– отрезок прямой, соединяющей точки
O(0,0)
и B(2,
2).
10.
где LOAB
– ломанная OAB:
O(0,0);
B(2,0);
A(2,1).
11.
где AB
– отрезок прямой
A(1,0);
B(0,1).
12.
где
–
дуга параболы
от точки A(0,0)
до точки B(1,2).
13.
по параболе
от точки A(0,0)
до точки
.
14.
где
–
отрезок прямой AB,
15.
где
–
контур треугольника ABD
с вершинами A(1,0);
B(0,1);
D(0,0)
.
16.
где
ломанная
ABC,
A(1,2);
B(3,2);
C(3,5).
17.
где L
– дуга лемнискаты Бернулли
18.
где
-
дуга параболы
от точки A(1,0)
до точки B(0,2).
19.
где L
– контур квадрата со сторонами
20.
где
-
дуга эллипса
при положительном направлении обхода.
Задача 5. Используя двойной или криволинейный интеграл
1.
Найти массу дуги АВ
кривой
от точки
до точки
,
если в каждой точке ее плотность равна
квадрату абсциссы.
2.
Найти работу силового поля при перемещении
точки из А(1,0)
в В(2,1)
по параболе, если в каждой точке
поля на нее действует сила
.
3.
Найти объем тела, ограниченного цилиндрами
и плоскостями
.
4.
Найти массу дуги ОА
дуги
,
если в каждой точке М
линейная плотность пропорциональна
длине дуги
.
5.
Найти объем тела, ограниченного
плоскостями
,
,
,
и
.
6.
Проекции силы на оси задаются формулой
,
вычислить величину работы при перемещении
из точки
в точку
по прямой.
7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
,
и
.
8.
Найти массу материальной дуги кривой
между точками
,
,
если линейная плотность вещества в
любой точке кривой пропорциональна
абсциссе этой точки.
9.
Найти работу, производимую силой
вдоль дуги кривой
от точки
до точки
.
10.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
указанными линиями:
.
11.
Вычислить длину линии
между точками пересечения с осью
.
12.
Вычислить площадь фигуры, определяемой
неравенством
.
13.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
14.
Найти длину винтовой линии:
,
где
.
15.
Вычислить длину дуги линии
для
.
16.
Найти массу материальной дуги линии
с
плотностью
.
17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
.
18.
Найти массу материальной дуги линии
с
линейной плотностью
для
.
19.
Найти работу, производимую силой
вдоль кривой
от точки
до точки
.
20.
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностью
и плоскостями
,
,
и
.
Оглавление
Общие рекомендации …………………….………………....3
Список рекомендуемой литературы ……. …………… …. 4
Вопросы программы к контрольной работе № 3 .…… …...4
Вопросы программы к контрольной работе № 4 …… …...5
Определение варианта………………………………………7
Контрольная работа № 3……………………………………..7
Контрольная работа № 4 …………….…………………..….13