5. Оценка точности изготовления деталей статистическими методами

5.1. Цель работы

Изучить основные принципы проведения статистиче­ского анализа точности изготовления деталей, приобрести на­выки определения приближенной статистической оценки по­грешностей.

В результате выполнения лабораторной работы студент должен знать основные статистические характеристики по­грешностей, методику определения этих характеристик по ре­зультатам измерения; студент должен уметь выполнять стати­стическую оценку результатов измерений.

5.2. Статистические показатели точности

При изготовлении и при измерении деталей возникают систематические и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности, постоянные по абсолютному значению и знаку или изменяющиеся по оп­ределенному закону в зависимости от характера неслучайных факторов например, неточной настройки оборудования, по­грешности измерительного прибора и т. п.

Случайными называют непостоянные по абсолютному значению и знаку погрешности, которые зависят от случайно действующих причин. Эти погрешности характеризуются из­менением значений при повторных опытах. Случайные по­грешности могут быть связаны множеством случайно изме­няющихся факторов, таких как припуск на обработку, неста­бильность механических свойств материала, сила резания и т. п., причем в общем случае ни один из этих факторов не явля­ется доминирующим.

Для оценки влияния случайных погрешностей на каче­ство изделия или процессов используется теория вероятностей и математическая статистика.

(5.1)

Зависимость между значениями случайной величины и вероятностью их появления устанавливается законом распре­деления вероятностей случайных величин. Рассеяние значений случайной величины, изменение которой зависит от большого числа факторов подчиняется закону нормального распределе­ния вероятностей - закону Гаусса. При совпадении центра группирования с началом отсчета случайной величины

х (-∞ ‹ х‹ +∞) уравнение кривой нормального распределения имеет вид:

где: у - плотность распределения вероятности;

- средне квадратическое отклонение случайной вели­чины.

Для дискретной величины:

где: М(X) - математическое ожидание;

р(x_i) - вероятность значения x_i.

Рассеяние случайных величин характеризуется также дисперсией:

D(X) и определяют рассеяние значений случайной величи­ны относительно центра группирования. Параметр влияет также на форму кривой распределения. На практике статистическая оценка точности изготов­ления детали заключается в построении гистограммы распре­деления погрешностей, определении закона распределения, статистических характеристик и проверки адекватности построенной эмпирической модели распределения погрешно­стей.

Для статистической оценки точности из достаточно большой партии деталей берется выборка обычно объемом

N = 50÷200 шт. Каждую деталь в выборке измеряют по ис­следуемому размеру. Измерения необходимо выполнить, со­блюдая постоянство условий измерения (измерять детали в одном сечении, при постоянной температуре, одним и тем же измерительным инструментом). Все размеры располагают в прядка возрастания. Определяется разность между наиболь­шим и наименьшим размерами R = L_max – L_min , называемая размахом действительных размеров. Эта разность разбивается на К интервалов, рекомендуется принимать К = 8÷15. Под-считывается число деталей n₁,n₂…,n_k, размеры которых ограничены пределами каждого интервала. Затем определяют

частности

.

Случайными величинами считаются размеры х_i, равные среднему арифметическому из размеров каждого интервала. Затем определяется среднее арифметиче­ское значение действительных размеров, которое определяет положение эмпирического центра группирования

Рассчитываются также отклонения от среднего значе­ния v_i = х_i- и алгебраическая сумма отклонений от среднего

значения

Рассеивание значений случайных величин выборки от­носительно эмпирического центра группирования характери­зуется эмпирическим средним квадратическим отклонением:

(5.5)

При N > 30:

(5.6)

Размерность s (также как и ) совпадает с размерно­стью случайной величины, для которой они определены. Чем меньше значение s, тем выше точность изготовления, измере­ния.

Характер рассеяния случайной величины наглядно оп­ределяется гистограммой, состоящей из прямоугольников, или эмпирической кривой (полигоном) распределения случай­ной величины (рис. 5.1). Для построения гистограммы или по­лигона распределения по оси абсцисс откладывают интервалы действительных размеров, а по оси ординат - высоты прямо­угольников (для гистограммы) или отрезки (для полигона), ве­личины которых пропорциональны частностям, или числу де­талей с размерами в каждом интервале.

Рис.5.1 Гистограмма 1 и полигон 2 распределение случайной величины

Соответствие эмпирического распределения предпола­гаемому теоретическому распределению устанавливается при

помощи критериев X², Колмогорова и др. (см. ГОСТ 11.006-74).

Параметры , s и s², определенные по данным выбор­ки, дают приближенную характеристику точности исследуе­мых объектов. Характеристикой рассеяния случайной величины служат математическое ожидание М(х), среднее квадра-тическое отклонение , и дисперсия D(X). Чем больше объ­ем выборки, т. е. число наблюдений, тем меньше разница меж­ду М(X) и , между и s, между D(X) и s² .

По результатам выборок и их объему можно установить границы, внутри которых с определенной, заданной исходя из эксплутационных требований, вероятностью будут находиться значения М(Х), и D(X). Эти границы определяют довери­тельный интервал. Соответствующую этому интервалу веро­ятность называют надежностью или доверительной вероятно­стью р. В общем случае при больших объемах выборки и раз­личной вероятности (5 доверительные интервалы для М(Х) определяют по формуле:

-z < М(Х) < + (5.7)

Обычно задаются вероятностью равной 0,9; 0,95; 0,99; 0,999, что соответствует значениям z= 1,645; 0,96; 2,576; 3,291.

Для нормального закона распределения (когда N > 30) и Р = 0,9973 доверительные интервалы определяются грани-

цами М(х) ± З , где = .

Аналогично определяются доверительные интервалы для значений и D(x).

5.3. Задание

5.3.1. Ознакомится с чертежом детали, требованиями к ее точности, измерительным инструментом (микрометр, измерительная скоба с индикатором или микроскол).

5.3.2. Выбрать из партии группу деталей.

5.3.3. Провести измерение деталей по размеру, указанному преподавателем.

5.3.4. Определить статистические характеристики, по­строить гистограмму или эмпирическую кривую распределе­ния погрешности.

5. Сделать вывод о пригодности деталей, о точност­ных характеристиках технологического процесса изготовления деталей.

6. Оформить отчет по лабораторной работе и предъ­явить его преподавателю. Ответить на контрольные вопросы.

г*

5.4. Последовательность выполнения работы

1. По описанию лабораторной работы, учебнику /1/ или справочнику /2/ ознакомиться со статистическими характеристиками погрешностей, методами статистического анализа погрешностей.

2. Разобраться с конструкцией детали. Эскиз детали занести в отчет. Установить требования к поверхности детали и их размерам. Определить величину выборки. Для статисти­ческого анализа, в учебных целях, удобно рассматривать про­стые детали (втулки, валики, оси и т. п.). Объем выборки для такого типа деталей может составлять около 50 шт.

3. Произвести измерение деталей со строгим соблю­дением постоянства условий измерения. Определить макси­мальный и минимальный размеры, размах, интервалы, количе­ство деталей в каждом интервале, частности, среднее значение интервала, отклонения от среднего значения. Результаты све­сти в таблицу 5.1.

4. Подсчитать положение эмпирического центра группирования эмпирическое среднее квадратическое от­клонение Построить гистограмму и кривую распределения погрешностей. Задавшись доверительной вероятностью, опре­делить границы доверительного интервала для M(X).

5. Сделать вывод о пригодности партии деталей, о точностных характеристиках технологического процесса.

6. Оформить отчет и представить его преподавате­лю. Ответить на контрольные вопросы.

Таблица 5.1

Номер интер- вала	Интервалы действительных размеров, мм	Среднее значение xi интервала	Число деталей в интервале ni	Отклонения от среднего значения vi= xi–	Частность
1 . . . K

Продолжения табл. 5.1

=

N=

5.5 Контрольные вопросы

1. Перечислите факторы, которые могут вызвать случайные погрешности.

2. Пользуясь кривой эмпирического распределения погрешности, определите вероятность появления деталей за­данного размера, вероятность появления бракованных деталей, точность технологического процесса изготовления деталей.

3. какова физическая сущность среднего квадрати-ческого отклонения случайной погрешности?

1. Запишите формулу определения границ довери­тельного интервала для М(X) по эмпирическим характеристи­кам случайной погрешности.

2. Что характеризует доверительная вероятность?

Лабораторная работа № 4