Корневой годограф

Многие важные свойства системы (например, быстродействие, перерегулирование) определяются расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Простейший способ коррекции системы – применить П-регулятор (усилитель с коэффициентом ), который изменяет коэффициент усиления разомкнутой системы и расположение этих корней. При изменении от 0 до корни описывают кривые, которые называются корневым годографом¹.

С помощью модуля SISOTool (сокращение SISO=Single Input Single Output обозначает систему с одним входом и одним выходом) можно выбирать нужное расположение корней (и соответствующий коэффициент усиления), «перетаскивая» их мышкой. Заметим, что при перемещении одного корня смещаются и все остальные, поскольку система имеет одну степень свободы – изменяющийся коэффициент усиления контура.

Рис. 5

Корни при выбранном коэффициенте усиления изображаются фиолетовыми квадратиками. Концы годографа для каждого корня помещены крестиком ( ) и кружком ( ). Сетка (для ее вывода надо нажать ПКМ на графике и выбрать пункт Grid) показывает линии равных показателей колебательности (коэффициента демпфирования, damping factor) – прямые, выходящие из начала координат, и линии равных собственных частот (natural frequency) – окружности с центром в начале координат.

В контекстном меню (ПКМ) можно установить ограничения на расположение полюсов так, чтобы перерегулирование и время переходного процесса не превышали заданных. Для этого надо выбрать пункт Design Constraints – New и выбрать в выпадающем списке Percent Overshoot (перерегулирование в процентах) или Settling Time (время переходного процесса с 2%-ной точностью). Ограничения показываются в виде границ запрещенных зон.

Рис. 6

Время переходного процесса оценивается по степени устойчивости замкнутой системы. Так называется расстояние от самого правого корня характеристического уравнения до мнимой оси. Обычно принимается (как для апериодического звена)

,

где – величина допустимой ошибки (в Matlab она принимается равной 2% или 0,02). Таким образом, при ограничении только на область допустимого расположения корней есть полуплоскость

.

Требования к коэффициенту демпфирования добавляют ограничение в виде сектора

.

Число называют колебательностью или степенью колебательности замкнутой системы. Каждому заданному соответствует некоторое значение .

Перерегулирование (в процентах) оценивается по формуле

.

Каждому перерегулированию соответствует свое значение и свой сектор, ограничивающий расположение корней.

Таким образом, при использовании двух ограничений (первое – на , второе – на или ) область допустимого расположения корней представляет собой усеченный сектор в левой части рисунка. Если перетаскиванием корней (то есть, изменением усиления контура) не удается расположить полюса в этой области, надо усложнять регулятор, добавляя его нули и полюса (ПКМ – Add Pole/Zero или ПКМ – Edit Compensator).

Синтез с помощью лафчх

В отечественной литературе классическим стал метод синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик (ЛАФЧХ) разомкнутой системы (диаграмм Боде по зарубежной терминологии).

Пусть разомкнутая система имеет передаточную функцию . ЛАФЧХ включает в себя две кривые – амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

и фазовую (ЛФЧХ)

.

Угловая частота (в рад/сек) на оси ординат откладывается в логарифмическом масштабе. При этом так называемые асимптотические ЛАЧХ представляют собой отрезки прямых, это значительно облегчает ручное построение.

Разложив числитель и знаменатель передаточной функции на сомножители первого и второго порядков, можно представить ЛАЧХ системы как сумму ЛАЧХ элементарных звеньев (апериодических, колебательных, интегрирующих, дифференцирующих и т.д.) Для

получаем, используя свойства логарифма,

.

Раньше вручную строили асимптотические ЛАЧХ, суммируя ЛАЧХ отдельных звеньев. В среде Matlab существуют средства, позволяющие автоматизировать построение точных (не асимптотических) ЛАФЧХ. При этом можно использовать накопленный за многие годы классический опыт проектирования.

Низкочастотная часть ЛАЧХ определяет точность системы, среднечастотная (вблизи частоты среза ) – устойчивость и качество переходного процесса, высокочастотная – чувствительность к помехам. Если система содержит интегратор, низкочастотная часть имеет ненулевой наклон (20 дБ на декаду для одного интегратора), постоянный сигнал отслеживается без установившейся ошибки. Для системы с двумя интеграторами ЛАФЧХ имеет в области низких частот наклон 40 дБ на декаду, без установившейся ошибки отслеживается не только постоянный, но и линейно возрастающий сигнал. Более сложные требования к точности приводят к тому, что ЛАЧХ не должна заходить в некоторые запретные области.

Рис. 7

З апас устойчивости по амплитуде (в дБ) – это расстояние от ЛАЧХ до горизонтальной прямой дБ на частоте, на которой фазовая характеристика пересекает прямую . На этой частоте система должна иметь коэффициент усиления меньше 1 (или ).

Запас устойчивости по фазе (в градусах) – это расстояние от частотной характеристики до горизонтальной прямой на частоте среза . На этой частоте фазовая характеристика должна иметь значение больше .

Допустимым считается запас по амплитуде не менее 6 дБ и запас по фазе не менее 30 градусов.

«Подъем» ЛАЧХ означает увеличение коэффициента усиления контура, фазовая характеристика не изменяется. Точность системы (при отработке низкочастотных сигналов) повышается, однако увеличивается и влияние высокочастотных помех. Поскольку частота среза увеличивается, повышается быстродействие системы. При этом переходные процессы приобретают выраженный колебательный характер, запасы устойчивости уменьшаются, при дальнейшем увеличении коэффициента усиления теряется устойчивость.

Обычно требуется, чтобы система имела высокую точность (большой коэффициент усиления по контуру) для низких частот и подавляла высокочастотные помехи (имела низкое усиление в области высоких частот). Частота среза выбирается исходя из требований к быстродействию. Таким образом, типичная ЛАЧХ имеет вид, показанный на рисунке. Серым цветом показаны запретные области, которые определяются требованиями к точности и подавлению помех.

Для обеспечения хорошего качества переходных процессов рекомендуется, чтобы ЛАЧХ пересекала ось с наклоном 20 дБ/дек. Это объясняется тем, что наклон 20 дБ/дек, соответствующий апериодическому звену, приводит к наименьшей колебательности переходного процесса. Точки перехода (излома асимптотической ЛАЧХ) от низкочастотной части к среднечастотной и далее к высокочастотной должны отстоять от оси на 12-16 дБ.

Рис. 8

В общем случае строится желаемая ЛАЧХ , удовлетворяющая требованиям к системе, затем ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства определяется как разность между и и ЛАЧХ существующей разомкнутой системы.