Геометрические приложения двойных интегралов

1. Площадь области на плоскости выражается формулой

2. Объем тела , где

непрерывная неотрицательная в области

функция, выражается формулой

3. Площадь поверхности, заданной явно уравнением , вычисляется с помощью двойного интеграла вида:

Физические приложения двойных интегралов

Пусть - материальная бесконечно тонкая пластинка с плотностью . Тогда справедливы следующие формулы:

1. - масса пластинки;

2. - статические моменты пластинки относительно осей

3. - координаты центра тяжести пластинки;

4. - моменты инерции пластинки относительно осей

5. - момент инерции пластинки относительно начала координат.

Пример. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде

(рис.16), где - область на плоскости , ограниченная кривыми , то есть

. Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

Пример. Найти моменты инерции относительно осей пластины с плотностью ограниченной кривыми и прямыми , расположенной в первом квадранте (рис.17).

Решение.

. Чтобы свести каждый из этих интегралов к повторному в декартовых координатах, нужно область разбить на три части. Поэтому удобнее перейти к полярным координатам:

. Тогда изменяется от до , а при каждом значении переменная изменяется от (значение на кривой , уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой Следовательно, Аналогично получаем

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести двойной интеграл к повторному двумя способами, если:

а) - область, ограниченная кривыми

б) - круг

в) - треугольник со сторонами, лежащими на прямых

г) - кольцо

д) - область, ограниченная кривыми

;

е) - область, лежащая вне окружности и внутри кривой .

2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

а) б) в)

г) д)

е) ж)

3. Вычислить двойные интегралы:

а) б)

в) где

г) где

д) где

е) где - область, ограниченная кривыми

;

ж) где - область, ограниченная кривой

з) где - область, ограниченная кривыми

4. В следующих интегралах перейти к полярным координатам

а) б) в) .

5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

а)

б)

в)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:

а)

б)

в)

Ответ: а) б) в)

7. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки если ее плотность в точке пропорциональна расстоянию от точки до точки

Ответ:

8. Найти моменты инерции и относительно осей

и однородной пластинки с плотностью , ограниченной кривыми:

а)

б)

в)

г)

Ответ: а) б) в) г)

9. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью , ограниченной кривыми:

а)

б)

Ответ: а) б)

10. Шар радиуса погружен в жидкость постоянной плотности , причем центр шара находится на расстоянии от уровня жидкости и . Найти силы давления и на верхнюю и нижнюю полусферы этого шара.

Ответ:

11. Доказать, что если в плоскости, где расположена пластинка массы , взяты две параллельные оси и на расстоянии друг от друга, причем первая из них проходит через центр тяжести пластинки , то моменты инерции пластинки относительно этих осей связаны соотношением

Ответ: Взяв ось в качестве оси абсцисс, получаем

Так как, по условию , то приходим к равенству