2.2. Теоретическая справка [1,2]
Изгиб стержня – это вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержняа возникают только изгибающие моменты и поперечные силы Q. тержень, работающий на изгиб, называют балкой.
От действия изгибающего момента в каждой точке поперечного сечения балки возникает нормальное напряжение . От действия поперечной силы Q возникает касательное напряжение . Пусть Cх , Cу главные центральные оси поперечного сечения балки, Cz – продольная ось балки. Если все внешние силы приложены в плоскости уCz (рис.2.1 а), то реализуется прямой поперечный изгиб балки и напряжения в поперечном сечении определяются по формулам
(2.1)
где Мх – изгибающий момент относительно оси Cх; – осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси Сх; y – координата точки, в которой определяется напряжение; b – ширина поперечного сечения; - статический момент относительно оси Сх площади части поперечного сечения, расположенной выше точки с координатой у.
Для длинных балок касательными напряжениями τ ввиду их малости пренебрегают и проводят расчет на прочность по нормальным напряжениям
, (2.2)
где - осевой момент сопротивления поперечного сечения при изгибе; - допускаемое нормальное напря-жение.
2.3. Пример решения задачи
Шарнирно закрепленная на двух опорах стальная двутавровая балка (рис.2.1 а) нагружена сосредоточенной силой F = 20 кН, равномерно распределенной по длине нагрузкой интенсивности q = 16 кН/м и моментом М = 10 кНм. Допускаемое нормальное напряжение МПа, расстояния a = 3 м, b = 4 м, с = 2 м, = 14 м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определить максимальный изгибающий момента , и подобрать номер двутаврового поперечного сечения из расчета на прочность.
Решение подобных задач ведется в следующем порядке:
а) Определение реакций опор R1 , R2 , R3 из уравнений равновесия балки
, - R1 = 0;
, R2 + R3 – qa – F = 0;
, R3(l - c) – Fl - .
Решая эту систему, получаем:
= 0, R3 = 28,5 кН, R2 = 39,5 кН.
б) Построение эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Мх.
Определяем количество и границы участков балки. В данном случае балка имеет четыре участка. Для определения Q, Мх используем метод сечений,
1 участок, 0<z1<a.
Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящим на расстояние z1 от левого конца балки, отбросим правую часть балки, ее действие на левую часть заменим поперечной силой Q и изгибающим моментом Мх. Их положительные направления показаны на рис. 2.1 б.
Составим уравнения равновесия для сил, действующих на оставшуюся левую часть балки: сумма проекций сил на ось Cу равна нулю и сумма моментов относительно оси Cх равна нулю:
, R2 – qz1 – Q = 0;
, Mх + .
В итоге имеем
Q = R2 – qz1, Mx= . (2.3)
Следовательно, при рассмотрении левой отсеченной части балки поперечная сила Q равна алгебраической сумме вертикальных внешних сил, расположенных слева от поперечного сечения, при этом положительные слагаемые в сумме – силы направленные вверх, отрицательные слагаемые – силы направленные вниз. Изгибающий момент Мх равен сумме моментов относительно оси Сх, проходящей через центр тяжести С поперечного сечения. При этом положительные слагаемые в сумме – это моменты, направленные по ходу часовой стрелки, а отрицательные слагаемые – моменты, направленные против хода часовой стрелки.
При рассмотрении правой отсеченной части балки учитываются силы, расположенные справа от поперечного сечения, и применяется обратное правило знаков.
Для построения линейной эпюры Q определим два краевых значения (2.3): при z1= 0, Q = R2 = 39,5 кН, при z1 = a, Q = = R2 – q·a = - 8,5 кН.
Для построения квадратичной эпюры Мх определим два значения на концах участков, исследуем функцию на наличие экстремумов и определим направление выпуклости кривой Мх: при z1= 0, Мх =0, при z1 = , Мх = .
Р ис. 2.1
Экстремальное значение найдем из условия
, отсюда .
Поскольку , то кривая имеет выпуклость вверх и в сечении с координатой имеет максимальное значение
.
2 участок, 0<z2<b.
Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящим на расстоянии (a + z2) от левого конца балки (рис.2.1 в). Применяя указанные правила определения Q, Mх, вытекающие из уравнений равновесия оставшейся левой части балки, получим
Q = R2 – qa = - 8,5 кН, Мх = R2(a + z2) – qa( + z2 ).
Таким образом, поперечная сила Q на втором участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента Мх определим два значения:
при z2 = 0 Mх= ,
при z2 = b Mх = R2(a + b) – qa(0,5a + b) = 12,5 кНм.
3 участок , 0<z3<c.
Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением , отстоящем на расстоянии z3 от правого конца балки (рис. 2.1 г). Рассматривая условия равновесия правой части балки, получим:
Q = F = 20 кН, Мх = - Fz3.
Следовательно, поперечная сила Q на этом участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента определим два краевых значения:
при z3 = 0 Мх = 0, при z3 = c Mх= - Fc = - 40 кНм.
4 участок , 0<z4<(l – a – b - c).
Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящем на расстоянии (с + z4) от правого конца балки (рис.2.1 д). Рассматривая условия равновесия оставшейся правой части балки, получим:
Q = F – R3 = - 8,5 кН, Мх = - F(c +z4) + R3z4.
Таким образом, поперечная сила Q на этом участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента определим два краевых значения:
при z4 = 0 Mх = - Fc = - 40 кНм,
при z4 =l– a– b – c Mх =- F(l– a–b)+ R3(l– a– b –c)= 2,5 кНм.
Эпюры Q, Мх приведены на рис.2.1, а.
в) Определим необходимые размеры поперечного сечения двутавровой балки .
Наиболее опасным поперечным сечением является сечение, где модуль изгибающего момента максимален. В данном случае = 48,76 кНм.
Из расчета на прочность (2.2) определим расчетную величину осевого момента сопротивления поперечного сечения
,
Этому условию удовлетворяет двутавр № 27, ГОСТ 8239 – 79, для которого .
Задача № 3 по теме «Расчет на устойчивость призматического стержня»
3.1. Задание.
Стальной стержень длиной сжимается силой (табл. 3.2). Требуется
1. Определить размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении = 160 МПа (расчет вести методом последовательных приближений, предварительно приняв величину коэффициента = 0,5);
2. Определить величину критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Данные для и взять из табл. 3.1.
Таблица 3.1
Номер строки |
Сила F, кН |
Длина стержня ,м |
1 |
80 |
2,0 |
2 |
160 |
2,1 |
3 |
240 |
2,2 |
4 |
320 |
2,3 |
5 |
400 |
2,4 |
6 |
480 |
2,3 |
7 |
560 |
2,2 |
8 |
640 |
2,1 |
9 |
720 |
2,0 |
0 |
760 |
1,8 |
3.2 Теоретическая справка [1.2]
Наблюдения за поведением призматических стержней, нагруженных осевыми сжимающими силами F, показывают, что:
Таблица 3.2
а) при силе F, не превышающей критической силы Fкр, продольная ось стержня остается прямой и происходит простое сжатие стержня. При этом в поперечных сечениях
стержня возникают только нормальные напряжения сжатия , ( - площадь поперечного сечения стержня).
б) при силе первоначально прямая ось стержня искривляется, то есть прямолинейная форма равновесия теряет устойчивость. При этом к нормальным напряжениям сжатия добавляются значительные нормальные напряжения от изгиба стержня, и может произойти разрушение чтержня.
Пусть Е – модуль упругости материала стержня, σпц, , – соответственно пределы пропорциональности, текучести и прочности материала, – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения, – длина стержня, - площадь поперечного сечения стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящей от вида закрепления концов стержня, - минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня; - гибкость стержня, - предельная гибкость стержня, - критическое напряжение.
В зависимости от величины гибкости λ критическое напряжение в стержне определяют одним из трех способов:
а) для стержней, имеющих большую гибкость критическое напряжение определяют по формуле Эйлера ;
б) для стержней средней гибкости критическое напряжение определяется по формуле Ф.С. Ясинского ,
где a0, b – постоянные для данного материала коэффициенты; величина λ0 определяется из условия σкр = σТ для пластичного материала и условия σкр = σВ для хрупкого материала;
в) для стержней малой гибкости критическое напряжение принимается равным σкр = σТ для пластичного материала и σкр = σВ для хрупкого материала.
Для расчета на прочность при простом сжатии используется формула
, (3.1)
где - допускаемое напряжение для материала стержня.
Расчет на устойчивость проводится по аналогичной формуле
, (3.2)
где - допускаемое напряжение для материала стержня при расчете на устойчивость; - коэффициент запаса устойчивости.
Для конструкций с регламентированными коэффициентами запаса устойчивости принимают
, (3.3)
где коэффициент уменьшения допускаемого напряжения, зависящий от материала стержня и гибкости стержня .
Таблица 3.3
|
0 |
20 |
40 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
1 |
0,97 |
0,92 |
0,86 |
0,81 |
0,75 |
0,69 |
0,6 |
|
110 |
120 |
140 |
160 |
180 |
200 |
220 |
- |
|
0,52 |
0,45 |
0,36 |
0,29 |
0,23 |
0,19 |
0,16 |
- |
В дальнейшем будем считать, что стержень изготовлен из пластичного материала –стали Ст. 3. Для этого материала по строительным нормам и правилам проектирования приняты следующие характеристики:
= 2*105 МПа; = 240 МПа; = 310 МПа;
= 1,14 МПа; = 60; = 100.
Коэффициент для стали Ст. 3 определяется по таблице 3.3 методом линейной интерполяции.
3.3. Пример решения задачи.
Пусть стержень с шарнирно закрепленными концами изготовлен из стали Ст.3. Стержень имеет квадратное поперечное сечение со стороной , длину и сжимается силой (рис. 3.1 а). Допускаемое напряжение при расчёте на прочность .
Подобные задачи решаются в следующем порядке.
а) подготавливаются для расчета формулы для основных геометрических характеристик поперечного сечения стержня
, , ,
, ;
Рис. 3.1
б) определим размер поперечного сечения, используя метод последовательных приближений:
1 приближение.
Принимаем значение коэффициента . Тогда на основании формул (3. 2), (3. 3) имеем
, ;
.
По табл. 3.3, по гибкости методом линейной интерполяции получаем коэффициент
.
Следовательно, выбранное первоначальное значение является завышенным.
2 приближение.
Принимаем значение
.
Тогда
, ,
.
По табл. 3.3, при гибкости методом линейной интерполяции определяем коэффициент .
Следовательно, значение является завышенным.
3 приближение.
Принимаем значение .
Тогда
, ,
По табл. 3.1, по гибкости методом линейной интерполяции получаем значение .Оно отличается от значения менее чем на 3%.
Окончательно принимаем:
, , .
в) Определим величины критической силы и коэффициента запаса устойчивости.
Так как гибкость стержня больше , то критическую силу определяем по формуле Эйлера
.
Тогда коэффициент запаса устойчивости равен
.
Примечание. Для круглого сплошного поперечного сечения с диаметром (рис. 3.1 б) имеем
, .
Для полого поперечного сечения площадь и минимальный момент инерции определяется как разность соответствующих величин для сплошного сечения и отверстия.
Для стального стержня, жестко защемленного одним концом и шарнирно опертого другим концом (схемы 1, 3, 5, 7, 9) коэффициент приведения длины равен = 2/3.
Библиографический список
Ковалев Н.Ф. Прикладная механика. Учебник для втузов. М.: Высшая школа. 1982. 400 с.
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – 9 –е изд., перераб.-М.: наука, 1986. 512 с.
Приложение
Образец титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»
Контрольная Работа № 1
по дисциплине «Прикладная механика»
Раздел «Сопротивление материалов»
Вариант 367
Выполнил студент гр. ЭМ-121 Иванов Ю.И.
Принял доцент Петров В.A.
Воронеж 2013
Содержание
Введение 1
1. Задача №1. по теме «Расчеты на прочность и 2
жесткость при кручении валаа круглого сечения»
2. Задача № 2 по теме «Расчет на прочность при 9
изгибе балки»
3. Задача № 3 по теме «Расчет на устойчивость 17
призматического стержня при сжатии»
4. Библиографический список 24
Приложение. Пример оформления 25
титульного листа контрольной работы
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению контрольной работы № 1
по разделу «Сопротивление материалов»
дисциплины «Прикладная механика» для студентов
направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»
(профиль «Электропривод и автоматика»)
заочной формы обучения
Составители: Рябцев Владимир Андреевич
Хван Александр Дмитриевич
Свиридов Сергей Иванович
В авторской редакции
Подписано к изданию 25.12.2013.
Уч.-изд. л. 1,6. «С»
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»