4. Пример 1. Двухопорная балка с консолью

4.1. Исходные данные

Выполнить расчет на жесткость балки, геометрическая схема которой с нормативной нагрузкой представлена на рис. 2, при следующих значениях исходных параметров:

линейные размеры –

нормативные нагрузки –

опорные реакции от нормативной нагрузки –

;

допустимые прогибы – в пролете , на конце консоли .

Рис. 2 Расчетная схема балки

Рассмотреть два случая:

1. стальная балка из прокатного двутавра № 22 (ГОСТ 8239-89) с моментом инерции и модулем упругости ;

2. деревянная балка круглого поперечного сечения с и .

Все данные, кроме допустимых прогибов, взяты из примера в п. 4 методических указаний /4/.

4.2. Составление и решение дифференциальных уравнений оси изогнутой балки

Совместим начало координат осей с левым концом балки и разобьем ее на три участка 1, 2 и 3 (см. рис. 2).

Первый участок .

Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки имеет вид

. (13)

Второй участок .

(14)

Здесь для обеспечения равенства постоянных интегрирования распределенная нагрузка интенсивностью продолжена до конца балки и введена компенсирующая нагрузка обратного направления той же интенсивности , а момент сосредоточенной пары умножен на фиктивное плечо (см. п. 2.2).

Третий участок .

Проинтегрировав дважды дифференциальные уравнения (13) – (15), получим выражения для нахождения углов поворота сечений и прогибов

(16.1)

(16.2)

(17.1)

(17.2)

_{Интегрирование членов, содержащих множители вида (x–a), производит}ся без раскрытия скобок в соответствии с правилами, обеспечивающими выравнивание постоянных интегрирования (см. п. 2.2).

Рассмотрев условия (7), (8) гладкого и непрерывного сопряжения оси изогнутой балки на границах участков загружения, получим

для участков 1 и 2: и ;

для участков 2 и 3: и .

Отсюда с использованием соотношений (16.1), (17.1) и (16.2), (17.2) найдем

или ;

или .

Аналогично из соотношений (17.1), (18.1) и (17.2), (18.2) следует и . Поскольку и , то в дальнейшем используем только постоянные C и D, которые найдем из условий равенства нулю прогибов в сечениях над опорами.

На опоре A :

на опоре B :

.

Постоянные интегрирования D и C равны соответственно прогибу и углу поворота сечения в начале координат (при x=0), умноженным на изгибную жесткость балки EJ.

4.3. Геометрические характеристики деформаций балок

4.3.1. Стальная двутавровая балка

Подставив в уравнение (16.2) , определим прогиб балки в середине полета

.

Подставив полученное значение в условие жесткости (9)

,

видим, что оно выполняется. Прогиб свободного конца консоли вычислим из выражения (18.2) при м

.

Допустимый прогиб консоли (см. п. 4.1) меньше полученного значения и, следовательно, критерий (10) не выполняется и жесткость балки не обеспечена. По желанию студента можно сделать перерасчет, подобрав двутавр с постоянным по длине моментом инерции

.

Этому условию удовлетворяет двутавр № 33 по ГОСТ 8239–89 с , для которого

,

,

то есть условие жесткости выполняется. В рассматриваемом примере в дальнейших расчетах используется двутавр №33 с моментом инерции .

Определим углы поворота сечений:

над опорой A – из выражения (16.1) при

;

над опорой B – из уравнения (17.1) при

;

на конце консоли – из соотношения (18.1) при

.