Практическое занятие №2 модели и методы оптимального проектирования рэс в сапр pro/Engineer Wildfire 5.0

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является ознакомление с возможностями оптимального проектирования РЭС в САПР PRO/Engineer Wildfire 5.0, изучение особенностей применения проектных процедур анализа глобальной чувствительности и проработки оптимизационных задач, получение навыков формирования комплекса моделей структурной и параметрической оптимизации.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ ПО ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

Построить структурную модель проектируемой конструкции в соответствии с темой магистерской диссертации, исследовать возможность и целесообразность применения процедур анализа глобальной чувствительности и проработки оптимизационных задач на различных этапах проектирования.

Методические указания по выполнению практического задания

При построении математических моделей механики конструкций, учитывающих тепловые и электромагнитные поля, релятивистские эффекты, используются многие разделы математики, механики, физики, в частности, следующие:

• теория обыкновенных дифференциальных уравнений, математическая физика;

• теория обобщенных функций;

• теория ортогональных финитных функций; математический анализ, функциональный анализ;

• вариационное исчисление;

• теория упругости;

• теория вязкоупругости;

• теория пластичности;

• теория колебаний;

• теория пластин и оболочек;

• теория криволинейных стержней.

Наиболее широко при построении математических моделей механики конструкций используются:

• обыкновенные дифференциальные уравнения;

• дифференциальные уравнения в частных производных;

• интегральные уравнения;

• интегро-дифференциальные уравнения;

• вариационные принципы, проекционные условия.

При исследовании моделей, как правило, применяются:

• проекционные методы Бубнова, Петрова, Галеркина, Ритца;

• проекционно- и вариационно-сеточные методы.

• конечно-разностные методы;

• методы конечных элементов и граничных элементов;

• методы коллокаций;

• алгоритмы численных методов для супер-ЭВМ.

В комплексах программ ANSYS, ABAQUS, Adem, AutodeskInventor, DynaForm, DesignWave, Deform, CosmosWorks, CosmosFloWorks, Catia, Cadds, Pro/Engineer, LS-DYNA, MSC.Patran, MSC.ADAMS, Unigraphics, SolidWorks и др., реализующих алгоритмы моделирования геометрии механических конструкций и физических свойств материала конструкций, а также алгоритмы численных методов исследования математических моделей, для математического моделирования и исследования математических моделей в основном используются сплайны и метод конечных элементов. Эти и другие комплексы программ широко применяются в научных исследованиях, при проектировании конструкций.

Они являются инструментами, дающими достоверные результаты в нестандартных случаях только при условии неформального, высокопрофессионального их использования и при условии глубокого понимания применяемых моделей и свойств численных методов. Только такой подход делает эти комплексы программ достаточно надежными инструментами.

В механике выделяются два уровня математического моделирования, которые отражаются в структуре комплексов программ и в методиках их использования.

Первый, фундаментальный уровень – построение общих моделей, в области применения которых входят широкие классы прикладных задач. Эти модели содержатся в конечных элементах, входящих в библиотеки конечных элементов комплексов программ.

Второй уровень – выбор и доработка моделей первого уровня для адекватного описания механических конструкций. использовании комплексов программ осуществляется обоснованный выбор конкретных конечных элементов, настройка их параметров на свойства поставленной задачи.

Важнейшим моментом математического моделирования механических конструкций является задание краевых и начальных условий, связанное с искусственным отделением конструкции от внешней среды, с которой конструкция взаимодействует. Задание внешних силовых воздействий в большой степени не учитывает то, что конструкция воздействует на окружающую среду и параметры этого воздействия являются также неизвестными.

Квалифицированное моделирование подразумевает умение исследователя обоснованно выделить конструкцию из внешней среды и задать условия на ее границе таким образом, чтобы не снизить уровень адекватности модели. Это возможно тогда, когда степень воздействия конструкции на внешнюю среду на порядки ниже степени воздействия внешней среды на конструкции. Умение получить количественные оценки этих порядков – одно из основных требований построения адекватной модели и профессионального использования комплекса программ.

В основе многих алгоритмов численных методов, используемых существующими комплексами программ, лежит вариационный принцип Лагранжа, соответствующий постановке задачи “в перемещениях”. Основным недостатком таких методов является то, что первоначально определяется приближенное решение для перемещений, а приближенные решения для деформаций и напряжений получаются дифференцированием этого приближенного решения, в некоторых случаях – двукратным.

Таким образом, точность приближенных решений для деформаций и напряжений оказывается существенно меньшей точности приближенного решения.

Математическое моделирование геометрии механических конструкций в существующих комплексах программ основано на применении в основном сплайнов.

При решении нестандартных задач даже “универсальные” комплексы программ являются лишь частью набора инструментов исследования. Эти комплексы не обладают всесторонней полнотой, и должны использоваться творчески, на высоком профессиональном уровне и в сочетании с аналитическими исследованиями и с дополнительными численными расчетами. Завышенные оценки возможностей комплексов программ и формальное их использование – источники недостоверных “решений” и грубых ошибок.

Методика оптимального проектирования РЭС специального назначения предусматривает постановку и решение трёх видов оптимизационных задач: структурная оптимизация, анализ глобальной чувствительности и проработка оптимизационной задачи. Возможности оптимизации в программе ProEngineer

Разработка изделий не является линейным процессом, а состоит из множества повторений и проектных исследований. С этой целью модуль Mechanica встроен в параметрическую среду системы Pro/ENGINEER, которая позволяет инженерам легко и просто оптимизировать свои проекты [3].

Имеются следующие возможности конструкторских исследований и нахождения оптимального решения:

- взаимодействие с модулем Pro/ENGINEER Mechanism Dynamics Option для получения данных о нагрузках на элементы механизма;

- расчет локальной и глобальной чувствительности, который позволяет инженеру оценить воздействие отдельных изменений на состояние конструкции в целом;

- целевая комплексная оптимизация, которая обеспечивает наилучший профиль модели, т.е. совокупность таких характеристик проектирования, как размеры модели и значения параметров;

- взаимодействие с модулем Pro/ENGINEER Behavioral Modeling, где есть расширенные функции оптимизации, как, например, планирование эксперимента;

- настраиваемый интерфейс, позволяющий использовать внешние системы вспомогательных расчетов (например, расчета электромагнитных цепей).

Pro/ENGINEER Mechanica позволяет инженерам-конструкторам самостоятельно оценить, исследовать и оптимизировать структурное поведение разрабатываемых ими конструкций, находящихся под воздействием реальных статических и динамических нагрузок.

Точное представление геометрии и уникальная адаптивная методика расчета позволяют легко получать быстрые и точные решения, которые помогают повысить качество изделий, сокращая при этом время и расходы на разработку, а также расходы на изготовление и испытание опытных образцов.

Pro/ENGINEER Mechanica также имеет специализированные средства автоматической генерации полностью ассоциативных конечно- элементных сеток для проведения дальнейшего расчета в системах типа NASTRAN®, и может использоваться совместно с другими продуктами и средствами управления данных разработанными компанией PTC.

Работая непосредственно с моделью Pro/ENGINEER®, Pro/ENGINEER Mechanica полностью исключает проблемы неизбежные при передаче данных между различными программами и, одновременно, предоставляет разработчику мощные возможности параметрической оптимизации конструкции.

Возможности проведения многозадачного анализа позволяют проводить одновременную оптимизацию по прочностным, тепловым и кинематическим характеристикам.

Pro/ENGINEER Mechanica предоставляет мощные возможности параметрического моделирования, основанные на использовании интеллектуальных операций- фичеров (features), позволяющие автоматически осуществлять изменения конструкции по результатам проведенного анализа.

Обладание такой мощной функциональностью дает возможность за меньшее время рассмотреть большее количество вариантов конструкции и эффективно провести через весь проект изменения, отражающие специфику поведения конструкции под действием механических нагрузок.

Структурный анализ является идеальным инструментом для исследования поведения конструкции под воздействием реальных статических и динамических нагрузок, легко определяемых инженером.

Pro/ENGINEER Mechanica обладает развитыми возможностями анализа вибрации и определения собственных частот и форм колебаний, включая выполнение временного и спектрального анализа - исключив, таким образом, необходимости создания образцов для проведения испытаний. Нагрузки и закрепления прикладываются непосредственно к геометрии модели и отображают воздействие внешней среды.

Необходимая точность получения результата задается до начала расчета путем установки требуемой сходимости Pro/ENGINEER автоматически проверяет возможные ошибки, проводит вычисления и генерирует информацию о сходимости для последующей верификации.

Для выполнения анализа чувствительности можно выбрать один или несколько параметров модели и проварьировать их в заданных диапазонах, и затем посмотреть к каким результатам приводят эти изменения.

Расчет локальной чувствительности при небольших отклонениях параметра от его номинальной величины позволяет определить параметры, изменение которых оказывает наибольшее влияние на структурное состояние конструкции.

Оптимизацию можно проводить по нескольким конструктивным параметрам и в качестве критерия оптимизации использовать стоимость, массу, перемещение, напряжение, реакции, деформацию, частоту или какой- либо другой, имеющий отношение к конструкции.

Например, можно минимизировать массу сборочной единицы при условии обеспечения величин напряжений, первой собственной частоты, и максимального перемещения в заданных пределах.

Можно строить векторные результаты расчетов перемещений и главных напряжений, а также результаты расчетов для участков модели, представленных стержнями, создавать анимацию перемещений, получать изображения форм колебаний, наблюдать как изменялась геометрия конструкции в процессе оптимизации. Можно повторно построить изображения результатов расчетов в виде заливки, изолиний и графиков для вычисленных перемещений, скоростей, ускорений, напряжений и их среднеквадратических величин.

Определив некоторую меру (measure) можно строить графики ее изменения "на каждом шаге" в линейном, полулогарифмическом, и логарифмическом масштабах.

Можно получить обобщенные оценки для всех результатов расчетов (минимум, максимум, максимальное абсолютное значение, среднеквадратичное значение).

Рассмотрим пример математических постановок данных задач при оптимальном проектировании крышки корпуса конструкции цилиндрического типа.

В качестве множества возможных вариантов структуры рассматриваются четыре варианта конструктивного исполнения крышки , где K₁ – исходный вариант крышки корпуса; K₂ – вариант крышки корпуса с двумя ребрами жесткости; K₃ – вариант крышки корпуса с четырьмя ребрами жесткости и K₄ – вариант крышки корпуса с увеличенной толщиной стенки.

Таблица 1 – Оптимизационная задача

Задача	Ограничение	Переменные
Минимизировать перемещения в крышке корпуса	Максимальное напряжение	- толщина ребер жесткости; - высота ребер жесткости; - радиус скругления ребер жесткости.

В качестве исследования глобальной чувствительности модели- исследование зависимости перемещений в модели от толщины крышки корпуса:

P = f (T) (1)

где Р – перемещения в модели, Т – толщина крышки.

Также в процессе разработки выполнялись задачи по оптимизации конструкции, представленные в таблице 1.

Задачу минимизирования перемещений в крышке корпуса можно записать в виде:

₍₂₎

δ ≤ δ_max

где – перемещения в модели;

TOL – толщина ребер жесткости;

Н – высота ребер жесткости;

R – радиус скругления ребер жесткости;

δ_max – максимальное напряжение.

Практическое задание выполняется в режиме консультаций с преподавателем и руководителем магистерской диссертации. Защита практического занятия проводится в виде научного доклада с предоставлением презентации.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

метод проекции градиентов

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы состоит в практическом освоении метода проекции градиентов и особенностей его применения в ходе поисковой оптимизации.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

В соответствии с разработанным в ходе выполнения практических заданий № 1, 2 математическим обеспечением оптимального проектирования исследовать возможность и целесообразность применения метода проекции градиентов в ходе оптимизационных процедур.

Методические указания по выполнению практического задания

Оптимизация конструкции в программе ProEngineer предполагает использование двух оптимизационных процедур: последовательное квадратичное программирование (SQP) и метод проекции градиента (GDP).

После того как сформирована математическая постановка оптимизационной задачи (то есть выбраны критерии и сформированы ограничения) проектировщику предоставляется возможность выбора метода, либо он может произвести оптимизацию в автоматическом режиме. В автоматическом режиме ProEngineer по умолчанию использует метод SQP. Однако, если в процессе поиска оптимального решения возникает проблемная вычислительная ситуация (некорректная математическая операция, например, деление на ноль или невозможности получения улучшенного решения с требуемой точностью) происходит автоматическое переключение с алгоритма SQP на алгоритм GDP и поиск оптимального решения продолжается.

Последовательное квадратичное программирование (SQP) используется для того чтобы быстро найти оптимальную конструкцию. Недостаток метода оценки последовательного квадратичного отклонения состоит в том, что данный метод не дает гарантии соответствия конструкции установленным пределам в конце каждой итерации, то есть возможен выход за границы области работоспособности ХР = G в процессе поиска (аналог метода штрафных функций). Однако, если при использовании алгоритма SQP не удается найти оптимальную конструкцию, то в распоряжении проектировщика может не оказаться ни одного варианта, удовлетворяющего ограничениям (требованиям ТЗ), усовершенствованного относительно начального варианта конструкции.

Метод проекция градиента (GDP) используется в том случае, если скорость поиска не слишком важна и требуется обеспечить доступность промежуточных конструкций для анализа проектировщика. GDP формирует серию промежуточных конструкций, удовлетворяющим ограничениям оптимизационной задачи. При этом вся траектория поиска находится внутри области работоспособности, то есть удовлетворяет требованиям ТЗ (аналог барьерных функций) создать серию промежуточных конструкций, удовлетворяющих пределам при приближении к цели.

Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргумента х (будем рассматривать задачи поиска минимального значения функции) [1].

f (x) → min (3)

при ограничениях:

g_i (x) = 0, i = 1, … , k;

h_j (x) ≤ 0, i = 1, … , m;

a ≤ x ≤ b.

Здесь x, a, b – векторы столбцы

, , . (4)

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией. Каждая точка x в n-мерном пространстве переменных x₁,..., х, в которой выполняются ограничения задачи, называется допустимой точкой задачи.

Множество всех допустимых точек называется допустимой областью G (областью работоспособности). Будем считать, что это множество не пусто.

Решением задачи считается допустимая точка х*, в которой целевая функция f(х) достигает своего минимального значения.

Вектор х* называют оптимальным. Если целевая функция f(x) и ограничения задачи представляют собой линейные функции независимых переменных х₁,...,хn, то соответствующая задача является задачей линейного программировании, в противном случае - задачей нелинейного программирования.

В общем случае численные методы решения задач нелинейного программирования можно разделить на прямые и непрямые [2]. Прямые методы оперируют непосредственно с исходными задачами оптимизации и генерируют последовательность (траекторию поиска) последовательности точек {x[k]}, таких, что f(х[k+1]) ˂ f(x[k]). В силу этого такие методы часто называют методами спуска.

Математически переход на некотором k-ом шаге (k = 0, 1, 2, ...) от точки х[k] к точке x[k+1] можно записать в следующем виде

x [k+l] = x [k] + a_kp [k], (5)

где р[k] — вектор, определяющий направление спуска; аk — длина шага вдоль данного направления.

При этом в одних алгоритмах прямых методов точки х[k] выбираются так, чтобы для них выполнялись все ограничения задачи, в других эти ограничения могут нарушаться на некоторых или всех итерациях. Таким образом, в прямых методах при выборе направления спуска ограничения, определяющие допустимую область G, учитываются в явном виде.

Идею метода проекции градиента проиллюстрируем на простом примере. Пусть на k-й итерации релаксационного градиентного метода поиск пришел в такую точку на границе допустимой области, где направление антиградиента не является возможным [2].

Следующая точка будет лежать за пределами допустимой области. В этих условиях, в качестве направления спуска выбирают не антиградиент, а направление к некоторой точке, лежащей внутри (или на границе) допустимой области, которая должна быть как можно ближе к точке антиградиента, то есть представляло бы собой проекцию этой точки на область работоспособности.

В качестве начальной выбирается некоторая точка допустимой области G. Если х[0] - внутренняя точка множества G, то рассматриваемый метод является обычным градиентным методом

x [k+l] = x [k] –a_kf’ (x [k]), k = 0, 1, 2, ..., (6)

где - градиент целевой функции f (x) в точке x[k].

После выхода на границу области G в некоторой граничной точке х[k], k = 0, 1, 2,... движение в направлении антиградиента -f’(х [k]) может вывести за пределы допустимого множества. Поэтому антиградиент проецируется на линейное многообразие М, аппроксимирующее участок границы в окрестности точки х [k]. Двигаясь в направлении проекции вектора - f'(x [k]) на многообразие М, отыскивают новую точку х [k+1], в которой f(х[k+1])<f(x[k]), принимают х [k+1] за исходное приближение и продолжают поиск градиентным методом.

Алгоритм метода проекции градиента состоит из следующих операций.

1. В точке х[k] определяется направление спуска р[k].

2. Находится величина шага а_k.

3. Определяется новое приближение х[k+1].

Рассмотрим детально каждую из этих операций.

1. Определение направления спуска состоит в следующем. Пусть найдена некоторая точка х[k] Є G и известен набор активных ограничений h_i(х[k]) = 0, j Є J. На основании данной информации вычисляют (-f’(х[k])) и определяют проекцию Р[-f’(х[k])].

При этом возможны два случая:

а) Р[-f’(х[k])] не равна 0. В качестве направления спуска р[k] принимают полученную проекцию;

б) Р[-f’(х[k])] = 0, то есть - ,

где l – количество активных ограничений (ограничений-неравенств выполняющихся как равенство, l m).

Данное выражение представляет собой систему из n уравнений для определения коэффициентов u_j. Если все u_j ≥ 0, j Є J, то в соответствии с вышеизложенным точка х[k] является решением задачи. Если же некоторый компонент u_q < 0, то соответствующий ему градиент выводится из матрицы А и порождается новая проецирующая матрица Р. Она определит новое направление спуска.

2. Для определения величины шага а_k целевая функция минимизируется по направлению р[k] при условии соблюдения ограничений задачи с установленной точностью. Последняя задается введением некоторого положительного числа ɛ. Считают, что точка х удовлетворяет условиям задачи с заданной точностью, если h_i(х) ≤ ɛ, j = 1, ..., m. Величина шага а_k определяется решением задачи вида

f(x[k] + ар[k]) → min;

h_j(x[k] + ар[k]) ≤ ɛ, j = 1, ..., m. (7)

3. Определение нового приближения состоит в следующем. Очередная точка вычисляется по формуле

x[k+1] = x[k] + а_kр[k]. (8)

Признаком сходимости является стремление к нулю векторов р[k].

Рассмотренный метод является в некотором смысле аналогом градиентных методов для решения задач на безусловный экстремум, и ему свойствен их недостаток - медленная сходимость.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ № 4