Лабораторная работа № 4 оптимизация в условиях неопределенности

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы состоит в практическом освоении методов оптимизации при наличии случайных факторов, осуществляющих воздействие на проектируемый объект.

2. ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ ПО ЕГО ВЫПОЛНЕНИЮ

Провести поиск экстремальных значений параметров оптимизационной задачи на базе применения двухуровневого адаптивного метода поисковой оптимизации.

Указания по выполнению

Для проведения расчётов могут быть использованы математические пакеты, средства САПР, а также оригинальные программные продукты. Детальное описание двухуровневого адаптивного метода поисковой оптимизации приведено в [2].При проведении расчёта следует использовать для моделирования случайных факторов генератор случайных чисел, распределенных по нормальному закону распределения. По завершении расчетов следует оценить степень точности найденного экстремума.

Оптимальное проектирование РЭС сводится к составлению или выбору целевой функции, многократному анализу выходных параметров устройств и затем нахождения экстремума целевой функции с применением различных методов оптимизации.

Методам поисковой оптимизации отдается предпочтение тогда, когда объект проектирования обладает высокой сложностью, и параметрическая оптимизация оказывается достаточно трудоемкой.

Двухуровневый адаптивный метод – модификация градиентного метода поиска. Используется для задач оптимизации в условиях неопределенности, в которых один или несколько управляемых параметров являются случайными величинами.

Исходные данные:

- требуемая точность ε;

- начальная точка поиска Х⁰;

- начальная величина шага поиска h (обычно h=√ε).

Получение новых точек производится по формуле:

X^k+1 = X^k - λ_k+1·grad Ф(Х^k), k=0,1,2... (1)

где шаг h_k+1 может быть рассчитан по одной из двух формул:

В качестве понижающего коэффициента выбирают обычно λ_k = 1/k, где k - номер итерации поискового метода. При этом на каждой итерации производится некоторая корректировка величины шага. Чем больше номер итерации метода поиска, тем ближе очередная точка поиска к точке экстремума и тем аккуратнее (меньше) должна быть корректировка шага с тем, чтобы не допустить удаления от точки экстремума. Вели­чина α_k определяет знак такой корректировки (при α_k>0 шаг увеличивается, а при α_k<0 уменьшается):

α_k=sign{(grad Ф(X^k), grad Ф(Х^))}, (2)

то есть α_k - это знак скалярного произведения двух векторов градиентов целевой функции в точках X^k и Х^, где пробная точка Х^=X^k-h_k·grad Ф(X^k), a h_k - это шаг, который был ис­пользован для получения точки X^k на предыдущей итерации метода (рисунок 1).

Знак скалярного произведения двух векторов позволяет оценить величину угла между данными векторами (обозначим этот угол β). Если β<90°, то скалярное произведение должно быть положительным, в противном случае - отрицательным. С учетом вышеизложенного нетрудно понять принцип корректировки величины шага в двухуровневом адаптивном методе. Если угол между антиградиентами β<90° (острый угол), то направление поиска из точки Х^k выбрано правильно, и величину шага можно увеличить (рисунок 1).

Рисунок 1

Если же угол между антиградиентами β > 90° (тупой угол), то направление поиска из точки Х^k удаляет нас от точки минимума X*, и шаг нужно уменьшить (рисунок 2).

Рисунок 2

Метод носит название двухуровневого, так как на каж­дой итерации поиска анализируются не одна, а две точки (X^k и Х^) и строятся два вектора антиградиента. Это уве­личивает затраты на проведение одной итерации, но позволяет проводить адаптацию величины шага h_k+1 на пове­дение случайных факторов модели объекта проектирования.