10. Теория идеального ветряка

Понятие идеального ветряка

Идеальным ветряком называют ветроколесо, у которого:

1) ось вращения параллельна скорости ветра;

2) бесконечно большое число лопастей очень малой ширины;

3) профильное сопротивление крыльев равно нулю, и циркуляция вдоль лопасти постоянна;

4) потерянная скорость воздушного потока на ветроколесе постоянна по всей сметаемой поверхности ветряка;

5) угловая скорость стремится к бесконечности.

Теорию идеального ветряка впервые разработал в 1914 г. В.П. Ветчинкин на основе теории идеального гребного винта. В этой работе он установил понятие коэффициента использования энергии ветра идеальным ветряком.

В 1920 г. проф. Н.Е. Жуковский изложил теорию «Ветряной мельницы НЕЖ», где сделал вывод коэффициента использования энергии ветра идеальным ветряком.

Аналогичные теории были разработаны позднее также в нашей стране проф. Г.X. Сабининым и акад. Г. Ф. Проскура.

Теория идеального ветряка проф. Н. Е. Жуковского носит название классической теории; она устанавливает, что максимальный коэффициент использования энергии ветра идеальным ветряком равен 0,593.

Наиболее полно, с точки зрения практического применения, теория идеального ветряка изложена проф. Г.X. Сабининым, согласно которой коэффициент использования энергия ветра идеальным ветряком равен 0,687. Отличие этой теории от прежних теорий заключается в том, что при определении осевой силы давления потока на ветроколесо импульс сил подсчитывается по вихревому соленоиду в том месте, где он принял уже установившуюся цилиндрическую форму, а не в момент его образования, как принима лось прежними теориями. Так как соленоид в цилиндрической части имеет площадь сечения большую, чем площадь, ометаемая ветроколесом, то осевая сила и коэффициент использования энергии ветра, по теории Г.X. Сабинина, получаются несколько большими.

Классическая теория идеального ветряка

Представим равномерный поток ветра, набегающий на идеальное ветроколесо со скоростью V в сечении AA' (рисунок 68). В сечении BB' на ветроколесе скорость будет V₁ = V − ν₁, а на некотором расстоянии позади ветряка в сечении СС' скорость будет V₂ = V − ν ₂.

Рисунок 68 Характеристика воздушного потока, протекающего через ветроколесо.

При этом вращающееся ветроколесо создаст подпор, вследствие чего скорость потока, по мере приближения к ветряку и некоторое время за ветряком, падает, как показано кривой I на рисунке 68. Вместе с этим давление воздуха p, по мере приближения к ветряку, повышается (кривая II), и при прохождении через ометаемую поверхность оно резко падает. За ветряком обра зуется некоторое разрежение p₀ − p₂, которое, по мере удаления от ветряка, ассимптотически приближается к нулю, т. е. восстанавливается нормальное давление (кривая III). Потерю скорости за идеальным ветряком можно установить при помощи уравнения Бернулли:

, (99)

Так как p₂ < p₀, то V >V₂.

Кинетическая энергия ветра перед ветряком равна , а за ветряком . Разность этих энергий затрачена на ветроколесе и, в случае отсутствия потерь, может быть получена как полезная работа:

. (100)

Преобразовав правую часть уравнения (100), получим:

. (101)

Следовательно:

. (102)

Энергию T₁ , воспринятую ветроколесом, можно выразить как произведение из силы давления ветра P на скорость в плоскости ветряка , т.e.:

. (103)

Лобовое давление P равно приращению количества движения струи, проходящей через ометаемую поверхность, т. е.:

P = mν₂. (104)

Подставляя значение P в уравнение (103), получим

. (105)

Сравнивая уравнения (102) и (105) находим, что:

, (106)

откуда:

, (107)

или:

. (108)

Равенство (108) показывает, что потеря скорости воздушного потока происходит не только в сечении ветроколеса, но также и на некотором расстоянии за ветряком, причём полная потеря скорости в два раза больше потери на ветроколесе.

Через ометаемую поверхность F ветроколеса протекает масса воздуха m, количество которой за 1 секунду будет равно:

m = ρFV. (109)

Подставляя значение массы воздуха в выражение кинетической энергии ветра перед ветроколесом, получим:

. (110)

Взяв отношение секундной работы, воспринятой идеальным ветроколесом (103) к той энергии ветра, которая протекала бы через сечение, равное ометаемой поверхности ветряка (110), получим идеальный коэффициент использования энергии ветра ξ_i

, (111)

Преобразуем это уравнение:

, (112)

здесь выражение

, (113)

называют коэффициентом нагрузки на ометаемую площадь, или коэффициентом лобового давления.

Подставив в это уравнение и обозначив , после сокращений получим:

. (114)

Поступая так же с уравнением (7.2.13), для ξ_i получим:

, (115)

Отношение называют коэффициентом торможения.

Определим значение e, при котором ξ_i будет иметь максимальную величину. Для этого возьмём первую производную и приравняем её нулю, т.е.:

, (116)

или:

, (117)

откуда:

3e² −4e + 1 = 0. (118)

Решая это равенство, находим, что ξ_i принимает максимальное значение, когда при этом

(119)

Из уравнения (114) находим B коэффициент нагрузки на ометаемую площадь при максимальном ξ_i.

(120)

Таким образом, из классической теории идеального ветряка вытекают следующие основные положения.

1. Максимальный коэффициент использования энергии ветра идеального ветроколеса равен ξ_i = 0,593.

Потеря скорости в плоскости ветроколеса равна одной трети скорости ветра:

(121)

3. Полная потеря скорости ветра за ветроколесом в два раза больше потери скорости в плоскости ветроколеса:

(122)

Таким образом, скорость ветра за ветроколесом в три раза меньше скорости ветра перед ветроколесом.

4. Коэффициент нагрузки на ометаемую поверхность ветроколеса равен B = 0,888.

Задаваясь коэффициентом торможения в пределах от 0 до 1 и подсчитывая с помощью уравнений (111) и (114), получим следующие значения коэффициентов ξ_i (таблица 5, рисунок 69).

Таблица 5

Значения коэффициентов использования и нагрузки в зависимости от коэффициента торможения

	0,100	0,200	0,333	0,400	0,500	0,600	0,700	0,800	0,900	1,000
ξi	0,324	0,512	0,593	0,576	0,500	0,384	0,252	0,128	0,036	0
В	0,360	0,640	0,888	0,960	1,000	0,960	0,840	0,840	0,360	0

Рисунок 69 Графики зависимости коэффициентов использования и нагрузки от коэффициента торможения