2. Содержание работы

По условиям задания в расчетной работе требуется:

Выполнить расчет балки на заданную постоянную нагрузку

1. Вычертить многопролетную неразрезную балку с действующей на неё постоянной нагрузкой. Отметить сечение «к». Выполнить нумерацию опор и пролетов;

2. Выполнить кинематический анализ расчетной схемы балки;

3. Построить эпюры и Q на консолях (если они предусмотрены заданием), вычислив и подписав характерные ординаты (у крайних опор);

4. Образовать основную систему для расчета методом сил с нумерацией основных неизвестных, опор и пролетов. Консоли отбросить. Показать постоянную нагрузку и основные неизвестные (опорные моменты), а также моменты на торцах крайних пролетов, выписав их величины и знаки;

5. Составить систему уравнений трех моментов;

6. Построить для каждого пролета, как для отдельной балки, эпюры и от постоянной нагрузки со всеми необходимыми для этого расчетами;

7. Вычислить по эпюрам статические моменты, входящие в правые части системы уравнений трех моментов;

8. Записать систему уравнений трех моментов в развернутом виде с числовыми коэффициентами и значениями правой части;

9. Определить значения основных неизвестных и выполнить их проверку с подстановкой уравнения с оценкой погрешности;

10. Построить окончательные эпюры и для заданной системы;

11. Вычислить и проверить опорные реакции.

Выполнить расчет балки на действие временной распределенной нагрузки

1. Выполнить расчет на ПЭВМ;

2. Построить линию влияния изгибающего момента в заданном сечении по результатам расчета на ПЭВМ;

3. Определить изгибающий момент в заданном сечении от действия постоянной нагрузки загружением построенной линии влияния;

4. Построить объёмлющую эпюру от действия временной нагрузки в заданном пролете;

5. Определить максимальный и минимальный возможный изгибающий момент в заданном сечении от действия временной нагрузки загружением линии влияния;

6. Заполнить таблицу сравнения значений от действия постоянной и временной нагрузок, определенных непосредственным расчетом и загружением линии влияния;

7. Построить объёмлющую эпюру от совместного действия постоянной и временной нагрузок в заданном пролете.

3. Общие методические указания

3.1. Опоры балки нумеруются слева направо, начиная с нулевой, пролеты- начиная с первого. Консоль в нумерацию пролетов не включается ( рис. 1, а). В дальнейшем m обозначает число пролетов, - номер рассматриваемого пролета ( или опоры ).

Рис.1,а

Если концы балки защемлены, каждое защемление схематизируется как две бесконечно близкие опоры; соответственно нумеруются опоры и пролеты ( рис. 1,б ). В составленных уравнениях полагают l₁→0, l_m →0.

Рис.1,б

3.2. Число степеней свободы (ст.св. ) W и число избыточных связей Л определяется по упрощенной формуле

, , (1)

где ‑ число опорных стержней.

Заметим, что степень статической неопределимости ( число избыточных связей ) у неразрезной балки равно числу промежуточных опор.

3.3. Консоли рассчитываются как статически определимые участки з.с. (хотя з.с. в целом – статически неопределима). Поэтому построенные для консоли эпюры и – окончательные. При построении их использовать известные эпюры для консольной балки, загруженной на конце сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой ( рис. 2, а, в. ).

Рис. 2

3.4. Основная система (о.с.) при расчете методом сил образуется из заданной системы (з.с.) мысленным удалением избыточных связей, а в данном случае – мысленным введением шарниров над всеми промежуточными опорами ( 1; 2; …; ) взамен непрерывного соединения торцов двух пролетов над опорой. Отбрасываются также уже ранее рассчитанные консоли.

Введение каждого шарнира равносильно удалению из з.с. одной связи, исключающей взаимный поворот двух смежных торцов. Реакцией в удаленной связи служит "групповая сила" ‑ две пары, представляющие силовое взаимодействие торцов, т.е. изгибающий момент в сечении о.с. над опорой. Эти изгибающие моменты ( , , . . . , ) являются основными неизвестными расчета.

Аналогично обозначаются изгибающие моменты над крайними опорами ( и ), но они не входят в число основных неизвестных, т.к. уже определены расчетом консолей. Если консолей нет или они не нагружены, то и равны нулю.

Используемый вариант о.с. является наиболее рациональным. Основную систему можно образовать и другими способами, но тогда расчет невозможно будет выполнить с помощью уравнений трёх моментов.

3.5. При получении эпюр о.с. и использовать известные эпюры для однопролетных балок длиной пролета с равномерной нагрузкой (рис. 2, б). Площадь параболического сегмента эпюры равна

, (2)

где -стрела параболического сегмента.

3.6. Уравнения трех моментов (УТМ) получены развертыванием применительно к неразрезной балке канонических уравнений метода сил. Их смысл – тождественность перемещений основной и заданной систем. Для этого следует над каждой -й промежуточной опорой обратить в нуль взаимный угол поворота двух торцов, прилегающих к шарниру о.с. (рис. 3). Из условия = 0 и вытекает -е каноническое уравнение метода сил, после развертывания и сокращений принимающее вид УТМ:

, (3)

где , .

Рис. 3

Здесь , ‑ площади участков эпюры ( нумерация по пролетам приведена на рис. 4); на рисунке , , , – расстояние центров тяжести этих участков эпюр от левого и правого конца пролета.

Рис. 4

Эпюры сложного очертания разбиваются на простейшие фигуры, после чего и вычисляются как суммы статических моментов всех частей эпюры, т.е. _,

Замечание. Во многих учебниках стоящие в правой части (3) величины названы «фиктивными опорными реакциями» из-за их совпадения со значениями опорных реакций балок от некоторой «фиктивной нагрузки» в качестве которой принимается эпюра .

Если нагрузка, а следовательно и эпюра , симметрична относительно середины пролета, то отрезки ; при этом

,

и уравнение (3) приводится к виду

. (4)

Отметим другой частный случай нагрузки (рис. 5) – пролет загружен одиночной силой Р; ее положение в -м пролете определено отрезками и , где – безразмерные числа ( ).Вид эпюры и формула для максимальной ординаты приведены на рис. 5.

Полагая в типовом уравнении трех моментов (3) или (4) поочередно = 1,2,3, …, , получим систему уравнений. В первое и в последнее уравнение войдут также известные и .

3.7. Н айденные при решении системы УТМ значения , и т.д. надо округлить, сохранив 3-4 значащих цифры. Проверка выполняется подстановкой их в УТМ; допустимые "невязки" определяются принятым уровнем округления (решения, округленные до 0,1 кНм, содержат погрешность в пределах

± 0,05 кНм). Подробнее ‑ см. пример расчета.

3.8. На незагруженных пролетах эпюра М прямолинейная, на загруженных равномерной нагрузкой – параболическая. Параболические участки в работе построить графически по трем ординатам (рис. 6).

П ри этом по концам пролета ab длиной отложены известные ординаты эпюры и ; известна также стрела параболы . Через середины отрезков и (точки и ) проводим перпендикуляр к ab , на нем откладываем отрезок . Соединяем точку с a₁ и b₁. Делим отрезки и на одинаковое четное число равных частей, точки деления нумеруем, как показано на рис. 6. Соединив прямыми одноименные точки, получим ряд касательных к параболе ( на рис. 6 показана одна из них 3-3 ), весьма точно определяющих ее очертание. Крайними касательными служат и .

3.9. Поперечные силы з.с. отличаются от поперечных сил о.с. на величину Δ , постоянную для каждого пролета и строятся по формуле

, (5)

где дополнительная поперечная сила от действия основных неизвестных в -м пролете.

3.10. Если на участке балки Ki длиной х известны значения и , то согласно рис. 7 имеем

Q_i = Q_k – qx;

.

Приравнивая эти выражения к нулю, получаем уравнения для определения абсцисс нулевых точек эпюр. Далее учитываем, что М достигает экстремума в сечении, где = 0 ( или меняет знак ).

3.11. Реакция каждой опоры определяется из условия равновесия () бесконечно малого участка балки над этой опорой с учетом уже известных значений справа и слева от опоры. Для проверки реакций служит условие равновесия () балки в целом. Заметим, что оно контролирует только вычисления и , а ошибки в составлении и решении УТМ этой проверкой не обнаруживаются.