Задачи для самостоятельного решения
Из города А в город В ведет пять дорог, а из города В в город С три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?
Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске два квадрата - белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов? Сколькими способами можно выбрать белый и черный квадраты, не лежащие на одной вертикали и горизонтали?
Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? Та же задача при условии, что одна из полос должна быть красной?
Сколько словарей необходимо издать, чтобы выполнять переводы с одного из пяти языков на любой другой из этих же пяти языков?
Согласно исследованию, из 200 телезрителей 110 смотрят спортивные передачи, 120 – комедии, 85 предпочитают драмы, 50 смотрят драмы и спорт, 70 – комедии и спорт, 55 смотрят комедии и драмы, и 30 человек смотрят все три вида передач. Сколько человек смотрят спорт, комедии или драмы? Сколько человек не смотрят ничего из вышеперечисленного?
Сколько пятизначных чисел начинаются с 3 и заканчиваются на 5 или не содержат цифру 7?
Сколькими способами можно вытащить 13 карт из колоды в 52 карты, если
а) карта после вытаскивания возвращается обратно;
б) карта не возвращается?
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? Та же задача при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых?
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей не образовывали пары?
Пусть . Сколько существует
а) трехэлементных подмножеств множества ?
б) пятиэлементных подмножеств, содержащих ?
в) пятиэлементных подмножеств, не содержащих ?
г) пятиэлементных подмножеств, содержащих , но не содержащих и ?
д) подмножеств множества , содержащих хотя бы три элемента?
е) подмножеств множества , содержащих не более шести элементов?
Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по четыре человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноши?
Сколькими способами можно послать шесть срочных писем, если для их передачи можно послать трех курьеров, и каждое письмо можно дать любому из них?
На конференции должно выступить пять человек. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если В не должен выступать до того, как выступит А?
Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть пять занятий: алгебра, геометрия, история, литература и география, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом?
Сколькими способами можно посадить за круглый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом
Из состава конференции, на которой присутствует пятьдесят человек, необходимо избрать делегацию из пяти человек. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?
На первой из двух параллельных прямых лежит 9 точек, на второй 14. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Буквы азбуки Морзе представляют собой набор “точек” и “ тире”. Сколько букв может быть в азбуке Морзе, если буква не должна содержать более четырех знаков?
В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в турнире.
Говорят, что 5-карточный расклад содержит каре, если четыре из них являются картами одного ранга. Сколько существует раскладов, при которых пятерка карт содержит каре?
«Фулл хаус» содержит три карты одного ранга и две карты другого ранга. Например, расклад, содержащий три короля и две шестерки, представляет собой «фулл хаус». Сколько существует 5-карточных раскладов с «фулл хаус»?
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова математика, парабола, водород, абракадабра?
Из спортивного клуба, насчитывающего тридцать членов необходимо выбрать 4 человека для участия в беге на 1000м. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами можно составить команду из четырех человек для участия в эстафете?
Имеется n абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно соединить одновременно три пары?
Билеты маркируются шестизначным номером. Билет является «счастливым», если сумма первых трех цифр совпадает с суммой последних трех цифр. Посчитайте количество «счастливых» билетов.
В почтовом отделении продаются открытки десяти сортов. Сколькими способами можно купить в нем двенадцать открыток? Сколькими способами можно купить восемь открыток? Сколькими способами можно купить восемь различных открыток?
Сколько можно сделать перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом? Данные три элемента не стоят рядом?
Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?
Сколько ожерелий можно составить из семи бусин разных размеров?
В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что, по крайней мере, двое из них имеют одинаковые инициалы?
Сколькими способами двенадцать монет одного достоинства можно разложить на два одинаковых пакета, если ни один из пакетов не должен быть пустым?
Хор состоит из десяти участников. Сколькими способами можно выбирать по шесть участников в течение трех дней так, чтобы каждый день были различные составы хора?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова юпитер так, чтобы гласные и согласные буквы шли в алфавитном порядке?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова перешеек так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова опоссум так, чтобы буква «п шла непосредственно за буквой «о»?
Сколькими различными способами можно расставить буквы в словах а) succeeded, б) unsuccessful, в) Sussex, г) Tallahassee?
Сколькими способами можно переставлять цифры числа 232423434 так, чтобы никакие три одинаковые цифры не стояли рядом?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова каракули так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова фацетия так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова параллелизм так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
Сколькими способами можно переставлять буквы слова логарифм так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?
На одной из параллельных прямых отмечено десять точек, а на другой - семь точек. Каждая точка одной прямой соединена с каждой точкой другой прямой. Найдите число точек пересечения полученных отрезков, если никакие три отрезка не имеют общей точки (общие точки на концах отрезков не считаются).
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Та же задача при условии, что каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза.
Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 5?
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются справа налево и слева направо?
Сколько имеется пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Сколько трехзначных чисел можно образовать, используя цифры 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9? Сколько таких трехзначных чисел меньше 450? Сколько среди них четных чисел? Сколько из них делятся на 4?
В скачках участвуют десять лошадей. Сколько существует вариантов призовой тройки?
Шесть юношей и шесть девушек идут на концерт вместе. Сколькими способами они могут занять места, если:
а) юноши не будут сидеть рядом?
б) все юноши сядут вместе?
в) два юноши сядут по краям?
г) один из юношей и одна из девушек откажутся сесть вместе?
Сколько имеется шестизначных чисел, если первая цифра разряда не может быть нулем, цифры не должны повторяться и
а) последние две цифры должны быть 7 или 8?
б) первая цифра должна быть 1, а последние цифры не могут быть 7 или 8?
в) цифры 7 и 8 должны стоять рядом?
г) число должно делиться на 4?
д) число должно делиться на 8?
е) в числе должны присутствовать цифры 5 и 6?
Сколько существует перестановок букв a, c, f, m, p, r, t, и x, если
а) нет никаких ограничений?
б) между a и c должны стоять две или три буквы?
в) буквы a и c не должны быть разделены двумя или тремя буквами?
г) первые четыре буквы должны быть выбраны из a, c, f, m?
д) буквы a, c, f, m должны стоять рядом?
Сколько существует способов рассадить за круглым столом пятерых мужчин и пятерых женщин, если двое мужчин не должны сидеть рядом?
Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче ровно две пары (две карты одного ранга и две карты другого ранга, например, два туза и два короля)?
Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче пять карт одной масти (флеш)?
Пассажир оставил вещи в камере хранения, а когда пришел получать их, то выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный код. Какое наибольшее число номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?
В урне находятся 6 синих, 5 красных и 14 желтых шаров. Если шары одного цвета неразличимы, то сколько существует способов одновременно вытащить из урны шары одного цвета?
Сколько существует перестановок букв w,e,d,i,g,m,a,t,h, в которых последовательности букв не образуют слова we, dig, math?
В комнате лампочек. Сколько всего разных способов освещения комнаты, при которых горит ровно лампочек?
Сколько имеется четырехзначных цифр, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
Имеется
белых и
черных шаров. Сколькими способами можно
выложить в ряд все шары так, чтобы
никакие два черных шара не лежали рядом?Сколько существует перестановок из n элементов, в которых между двумя данными элементами стоит r элементов?
Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, ..., n} так, чтобы каждое число, кратное 2, и каждое число, кратное 3, имело номер, кратный 2 и 3?
Если повернуть лист бумаги на 180, то цифры 0, 1 и 8 не изменяются, цифры 6 и 9 переходят друг в друга, а остальные цифры теряют смысл. Сколько существует семизначных чисел, величина которых не изменяется при повороте листа бумаги на 180?
Известно, что ответ на тест, состоящий из 30 вопросов, содержит 20 утвердительных ответов и 10 отрицательных. К сожалению, больше ничего не известно. Сколько существует вариантов ответа на тест, содержащих 20 утвердительных ответов на вопросы?
Тест содержит 35 вопросов, при этом каждый вопрос имеет 5 вариантов ответа
.
Сколько существует различных ответных
листов, в которых выбрано равное
количество ответов
?У профессора Иванова в группе 20 студентов. Согласно критерию, известному лишь ему одному, он решил поставить две пятерки, пять четверок, десять троек и три двойки. Сколькими способами он может поставить оценки студентам?
Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 35 человек?
Сколькими способами можно разделить 3n различных предметов между тремя людьми так, чтобы каждый человек получил n предметов?
Сколькими способами можно разместить 12 человек по трем комнатам, если в первую можно поместить 2, во вторую 6, в третью – 4?
Сколько различных десятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1 и 2?
Сколько положительных чисел от 20 до 1000 делятся ровно на одно из чисел 7, 11 или 13?
Сколькими способами можно распределить одинаковых предметов по различимым группам, так что
а) все группы не пусты?
б) пустые группы допускаются?
в) каждая группа
содержит не менее
элементов?
Сколькими способами можно распределить различных предметов по различимым группам, так что
а) допускаются пустые группы (порядок групп и порядок элементов в группах несуществен)?
б) допускаются пустые группы (порядок групп и порядок элементов в группах существен)?
в) пустые группы не допускаются?
Сколькими способами можно распределить различных предметов по неразличимым группам, причем пустые группы не допускаются и порядок элементов в группах существен?
Сколько существует способов разделить 10 человек на две команды по 5 человек для игры в баскетбол?
В бейсбольной команде 24 игрока. В гостинице они остановились в шести четырехместных номерах. Сколькими способами могут быть расселены игроки?
Сколько различных коллекций из десяти монет можно собрать из монет стоимостью 1 цент, 5 центов, 10 центов, 25 центов и 50 центов?
Если в урне имеются 20 красных, 20 синих и 20 зеленых шаров, то сколькими различными способами можно выбрать 10 шаров?
Сколько существует чисел, меньших 10000 и таких, что сумма цифр равна 12?
Сколько существует бриджевых раздач (из 13 карт), содержащих три трефовые, четыре червовые, пять пиковых карт и одну карту бубей?
У преподавателя обучаются 25 студентов. Преподаватель проводит тест, а затем просит студентов обменяться бумагами так, чтобы никто не проверял свой ответ. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько существует перестановок элементов множества
таких, что
а) в каждой перестановке ни один элемент не остается на своем месте, т.е. перестановка не отображает ни одно из чисел в себя?
б) перестановка не оставляет ни одно четное число на своем месте?
в) перестановка оставляет на своем месте хотя бы одно четное число?
г) в результате перестановки в точности четыре числа остаются на своем месте?
Сколько существует возможностей для того, чтобы среди 6 человек в точности трое родились во вторник?
Сколько существует последовательностей из нулей и единиц таких, что две единицы не стоят рядом?
Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?